Grupa algebraiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa algebraiczna albo rozmaitość grupowa – w geometrii algebraicznej grupa, która jest rozmaitością algebraiczną taką, że mnożenie i odwracanie zadane są na rozmaitości przez funkcje regularne. W języku teorii kategorii grupy algebraiczne są obiektami grupowymi w kategorii rozmaitości algebraicznych.

Klasy[edytuj | edytuj kod]

Kilka ważnych klas grup stanowią grupy algebraiczne, m.in.:

Istnieją dwie ważne klasy grup algebraicznych, które zasadniczo studiuje się niezależnie: rozmaitości abelowe (teoria „rzutowa/projektywna”) oraz liniowe grupy algebraiczne (teoria „afiniczna”). Z pewnością istnieją przykłady, które nie należą tak do jednej, jak i do drugiej klasy – są to przykładowo we nowoczesnej teorii całek rodzajów drugiego i trzeciego takie jak funkcja zeta Weierstrassa, czy w teorii uogólnionych jakobianów. Jednakże zgodnie z twierdzeniem zasadniczym każda grupa algebraiczna jest rozszerzeniem rozmaitości algebraicznej o liniową grupę algebraiczną. Jest to wynik Claude'a Chevalleya: jeżeli K jest ciałem doskonałym, zaś G jest grupą alebraiczną nad K, to istnieje wyznaczona jednoznacznie domknięta podgrupa normalna H grupy G taka, że H jest grupą liniową, zaś G/H jest rozmaitością abelową[1].

Zgodnie z innym podstawowym twierdzeniem każda grupa w kategorii rozmaitości afinicznych ma wierną reprezentację liniową: można postrzegać ją jako grupę macierzową nad K określoną za pomocą wielomianów nad K, przy czym mnożenie macierzowe jest operacją grupową. Z tego powodu koncepcja afinicznej grupy algebraicznej nad ciałem jest nadmiarowa – można pokusić się o bardzo konkretną definicję. Oznacza to, że podczas pracy nad ciałem liczb rzeczywistych grupa algebraiczna jest pojęciem węższym od grupy Liego: istnieją takie przykłady, takie jak nakrycie uniwersalne specjalnej grupy liniowej 2 \times 2, które są grupa Liego, ale nie mają wiernej reprezentacji liniowej. Między tymi dwoma pojęciami zachodzi bardziej oczywista różnica: składowa jedynki afinicznej grupy algebraicznej G jest koniecznie skończonego indeksu w G.

Praca nad pierścieniami (przemiennym) R umożliwia wprowadzenie pojęcia schematu grupowego, tzn. obiektu grupowego w kategorii schematów nad R. Schemat grupy afinicznej jest pojęciem dualnym do rodzaju algebry Hopfa. Istnieje wyszukana teoria schematów grupowych, która przykładowo wkracza we współczesną teorię rozmaitości abelowych.

Podgrupa algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Podgrupą algebraiczną grupy algebraicznej nazywa się podgrupę zamkniętą ze względu na topologię Zariskiego. Zwykle rozumie się, iż są także spójne (bądź nierozkładalne jako rozmaitość).

Innym sposobem wyrażenia warunku jest żądanie, by dana podgrupa była także podrozmaitością.

Można to uogólnić poprzez zastąpienie rozmaitości schematami. Głównym tego następstwem, oprócz dopuszczenia podgrup, w których składowa spójna jest skończonego indeksu większego od 1, jest przyzwolenie na niezredukowane schematy dla charakterystyki p.

Grupy Coxetera[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: grupa Coxetera.
Information icon.svg Zobacz też: ciało jednoelementowe.

Istnieje mnóstwo odpowiadających sobie wyników dla grup algebraicznych i grup Coxetera – przykładowo liczba elementów grupy symetrycznej wynosi n!, zaś liczba elementów pełnej grupy liniowej nad ciałem skończonym jest q-silnia [n]_q!; stąd grupa symetryczna jest jak gdyby grupą liniową nad „ciałem o jednym elemencie”. W tym ujęciu grupy Coxetera są grupami algebraicznymi prostymi nad ciałem jednoelementowym.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Wynik Chevalleya z 1960 roku jest trudny; współczesne podejście Briana Conrada: PDF.

Literatura[edytuj | edytuj kod]