Grupa doskonała

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

Grupa doskonała – w teorii grup grupa pokrywająca się ze swoim komutantem lub równoważnie grupa nie mająca nietrywialnych ilorazów abelowych. O grupach takich można myśleć jako o „wyjątkowo nieprzemiennych”.

Grupa $G$ jest doskonała, jeżeli zachodzi $[G,\; G] = G$ .

Jeżeli $G$ jest doskonała, a $N \trianglelefteq G$ jest normalną podgrupą cykliczną, to $K \le Z(G)$

Najmniejsza (nietrywialna) grupa doskonała to grupa alternująca $A_5$ .
Ogólniej, każda nieprzemienna grupa prosta jest doskonała, ponieważ komutant jest podgrupą normalną z przemiennym ilorazem.
Każda grupa acykliczna jest doskonała, twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: $A_5$ jest doskonała, ale nie acykliczna (nie jest nawet superdoskonała).

A. Jon Berrick, Jonathan A. Hillman, Perfect and acyclic subgroups of finitely presentable groups, Journal of the London Mathematical Society (2) 68 (2003), nr 3, 683-698.
A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.