Grupa ilorazowa

Grupa ilorazowa – w teorii grup zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.

Motywacja

Konstrukcja grupy ilorazowej ma na celu uogólnienie arytmetyki modularnej grupy addytywnej $\scriptstyle \mathbb Z_n,$ w której działania pochodzą z grupy addytywnej liczb całkowitych $\scriptstyle \mathbb Z,$ na dowolną grupę (zob. Przykłady). Dla danych grupy $\scriptstyle G$ i jej dowolnej podgrupy $\scriptstyle H$ należy więc wprowadzić takie działanie dwuargumentowe na zbiorze warstw grupy $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H,$ które byłoby odzwierciedleniem działania w grupie $\scriptstyle G$ i uczyniłoby ze zbioru warstw grupę. Natychmiast pojawiają się dwa problemy:

• Po pierwsze istnieją zbiory warstw lewostronnych i prawostronnych grupy $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H;$ jeżeli $\scriptstyle G$ jest przemienna, to zbiory te są równe, jednakże w ogólności mogą się one istotnie od siebie różnić (zob. przykład). W którym z nich wprowadzić strukturę grupy? Może oba te zbiory można przekształcić w grupy? Jeśli tak, to jaka zachodzi między nimi relacja? Jeśli nie, to dlaczego jest to niemożliwe?
• Druga kwestia dotyczy samego działania. Zasadniczym problemem wprowadzania działania na zbiorze $\scriptstyle \mathbb Z_n$ jest to, czy dodawanie elementów tego zbioru jest dobrze określone; wtedy sprawdzenie, że $\scriptstyle \mathbb Z_n$ jest grupą nie przedstawia większych problemów. Podobnie ma się rzecz z grupą ilorazową.

Okazuje się, że postawione zagadnienia są ze sobą blisko powiązane i dlatego odpowiedzi na nie zostaną przedstawione równocześnie.

Wprowadzenie

Niech $\scriptstyle G$ będzie grupą, a $\scriptstyle H$ będzie jej dowolną podgrupą, zaś $\scriptstyle G/H = \{aH\colon a \in G\}$ oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H,$ czyli podzbiorów postaci $\scriptstyle aH = \{ah\colon h \in H\}$ dla $\scriptstyle a \in G.$ Najbardziej naturalnym kandydatem na działanie w $\scriptstyle G/H$ jest wybór elementów zgodnie ze wzorem

$aH \cdot bH = abH \quad\mbox{ dla wszystkich }\quad a, b \in G.$

Należy jednak najpierw sprawdzić, iż tak zadane działanie jest dobrze określone na $\scriptstyle G/H,$ gdyż powyższy wzór wskazujący iloczyn $\scriptstyle abH$ wykorzystuje do tego elementy $\scriptstyle a, b \in G,$ które mogą być przecież wybrane na wiele sposobów. Powyższa reguła mówi w istocie, że aby obliczyć iloczyn elementów $\scriptstyle X, Y \in G/H,$ należy najpierw wziąć $\scriptstyle a \in G,$ dla którego $\scriptstyle aH = X,$ następnie wziąć $\scriptstyle b \in G,$ dla którego $\scriptstyle bH = Y,$ po czym obliczyć iloczyn $\scriptstyle ab$ w grupie $\scriptstyle G$ i wreszcie wybrać warstwę $\scriptstyle abH \in G/H$ odpowiadającą iloczynowi $\scriptstyle ab,$ która ma być iloczynem $\scriptstyle X \cdot Y.$ Dlatego należy się upewnić, że w wyniku tej procedury otrzymano tę samą warstwę lewostronną; nawet wtedy, gdy wybrano inne elementy z warstw lewostronnych $\scriptstyle X, Y$ do ich reprezentowania. Problem ten można podsumować następująco: czy wspomnianym warstwom lewostronnym przyporządkowuje się zawsze ten sam iloczyn niezależnie od sposobu ich identyfikacji (tzw. funkcyjność) i czy sam jest on warstwą lewostronną (tzw. zamkniętość), tj. czy tak zdefiniowane mnożenie jest działaniem wewnętrznym?

Powyższy wzór daje dobrze określone działanie wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $\scriptstyle a, a_1, b, b_1 \in G$ i $\scriptstyle h, h_1 \in H$ zachodzi implikacja postaci: $\scriptstyle aH = a_1H$ oraz $\scriptstyle bH = b_1H$ pociągają $\scriptstyle abH = a_1b_1H,$ co korzystając z własności warstw można zapisać w równoważnej postaci: $\scriptstyle a_1 = ah$ oraz $\scriptstyle b_1 = bh_1$ pociąga $\scriptstyle a_1b_1 \in abH,$ co po podstawieniu upraszcza się do $\scriptstyle ahbh_1 \in abH,$ przy czym (korzystając raz jeszcze z własności warstw) można zapisać to jako $\scriptstyle hb \in bH,$ czy też $\scriptstyle Hb \subseteq bH$ dla każdego $\scriptstyle b \in G$. Ostatni wzór jest jedną z charakteryzacji podgrupy $\scriptstyle H$ jako podgrupy normalnej w $\scriptstyle G,$ dlatego też działanie mnożenia warstw lewostronnych grupy $\scriptstyle G$ względem podgrupy $\scriptstyle H$ jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa $\scriptstyle H$ jest normalna.

Wspomniany warunek normalności jest równoważny innemu, mianowicie $\scriptstyle aH = Ha$ dla każdego $\scriptstyle a \in G;$ oznacza on, że każda warstwa lewostronna jest równocześnie warstwą prawostronną $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H;$ innymi słowy zbiory warstw lewo- i prawostronnych grupy $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle H$ jest normalna w $\scriptstyle G$ – daje to odpowiedź na oba z postawionych w poprzedniej sekcji pytań: nie ma potrzeby przejmować się rozróżnianiem tych zbiorów wtedy (i tylko wtedy), gdy działanie jest dobrze określone (w związku z tym działanie $\scriptstyle Ha \cdot Hb = Hab$ na warstwach prawostronnych również jest dobrze określone: w istocie działania te są wtedy identyczne).

Konstrukcje

Powyższe rozważania prowadzą wprost do konstrukcji wprowadzającej mnożenie warstw opisanej w kolejnej sekcji, bardziej naturalną konstrukcję opisano w sekcji Iloczyn kompleksowy, zaś najogólniejszą z nich opisano w sekcji Kongruencja.

Mnożenie warstw

Niech $\scriptstyle N$ będzie podgrupą normalną w grupie $\scriptstyle G.$ Zbiór $\scriptstyle G/N$ z działaniem mnożenia warstw określonym wzorem

$aN \cdot bN = abN \quad\mbox{ dla dowolnych }\quad aN, bN \in G/N$

tworzy grupę:

• niezależność i wewnętrzność: zgodnie z powyższym rozumowaniem działanie jest dobrze określone, a iloczyn dwóch warstw lewostronnych również jest warstwą lewostronną;
• łączność: dla dowolnych $\scriptstyle aN, bN, cN \in G/N$ zachodzi $\scriptstyle aN \cdot (bN \cdot cN) = aN \cdot bcN = abcN = abN \cdot cN = (aN \cdot bN) \cdot cN$ na mocy łączności $\scriptstyle a(bc) = (ab)c = abc$ elementów $\scriptstyle a, b, c \in G;$
• element neutralny: warstwa $\scriptstyle N = eN \in G/N$ jest lewostronnym elementem neutralnym, gdzie $\scriptstyle e \in G$ jest lewostronnym elementem neutralnym grupy, ponieważ $\scriptstyle eN \cdot aN = eaN = aN$ dla wszystkich $\scriptstyle aN \in G/N;$
• element odwrotny: każda warstwa lewostronna $\scriptstyle aN \in G/N$ ma element odwrotny lewostronnie w postaci warstwy lewostronnej $\scriptstyle a^{-1}N,$ gdyż $\scriptstyle a^{-1}N \cdot aN = a^{-1}aN = eN = N$ jest elementem neutralnym.

Grupę tę nazywa się grupą ilorazową lub krótko ilorazem $\scriptstyle G$ przez $\scriptstyle N$ i oznacza zwykle tak jak zbiór warstw, zazwyczaj $\scriptstyle G/H.$

Iloczyn kompleksowy

Mnożenie warstw polegające na wyborze reprezentantów jest sztuczne: dużo bardziej naturalnym podejściem byłoby traktowanie wszystkich elementów warstw w jednakowy sposób, nie zaś wyróżnianie jednego z nich, a następnie wykazywanie, że nie jest to niesprawiedliwością w stosunku do pozostałych. Z tego powodu wprowadza się naturalnie określone działanie na dowolnych niepustych podzbiorach danej grupy nazywanych kompleksami, które w przypadku warstw (będących kompleksami) pokrywa się z opisanym wyżej mnożeniem warstw.

Jeżeli $\scriptstyle X, Y$ są kompleksami (tzn. niepustymi podzbiorami) grupy $\scriptstyle G,$ to ich iloczynem nazywa się zbiór $\scriptstyle XY = \{xy\colon x \in X,\, y \in Y\};$ dla warstw stosuje się notację $\scriptstyle aH := \{a\}H$ oraz $\scriptstyle Ha := H\{a\},$ gdzie $\scriptstyle a \in G,$ zaś $\scriptstyle H$ jest podgrupą w $\scriptstyle G.$ Iloczyn kompleksowy warstw lewostronnych grupy $\scriptstyle G$ względem podgrupy $\scriptstyle H$ jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa $\scriptstyle H$ jest normalna. Otóż iloczynem $\scriptstyle aH$ oraz $\scriptstyle bH$ dla $\scriptstyle a, b \in G$ jest zbiór $\scriptstyle aHbH = \{ahbh_1 \in G\colon h, h_1 \in H\},$ przy czym $\scriptstyle ab = aebe \in aHbH.$ Zatem $\scriptstyle aHbH$ jest warstwą lewostronną grupy $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest warstwą lewostronną $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H$ zawierającą $\scriptstyle ab,$ tzn. $\scriptstyle H$ jest warstwą lewostronną $\scriptstyle G$ względem $\scriptstyle H$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle aHbH = abH.$ Wystarczy więc wykazać, że $\scriptstyle aHbH = abH$ dla wszystkich $\scriptstyle a, b \in G$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle H$ jest normalna w $\scriptstyle G$.

Porównując działania mnożenia warstw grupy $\scriptstyle G$ względem podgrupy $\scriptstyle H$ oraz ich iloczyn kompleksowy można zauważyć, że mnożenie dwóch warstw lewostronnych jest zawsze warstwą lewostronną, o ile działanie to jest dobrze określone, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle H$ jest normalna w $\scriptstyle G;$ z drugiej zaś strony iloczyn kompleksowy dwóch warstw jest zawsze dobrze określonym kompleksem, który jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy warstwy wyznaczane są przez podgrupę normalną: związek $\scriptstyle aHbH = abH$ w powyższym rozumowaniu dowodzi, że działania te są identyczne pod warunkiem normalności podgrupy $\scriptstyle H$ w grupie $\scriptstyle G.$

Kongruencja

Z szerszego punktu widzenia przejście od relacji równoważności do warstw jest wygodnym (ze względu na algebraiczną charakteryzację klas równoważności), ale nieco ograniczającym (z uwagi na zawężoną stosowalność tego podejścia) krokiem: w przypadku algebr ogólnych nie można wyróżnić podalgebry będącej odpowiednikiem podgrupy normalnej, która wskazywałaby relację równoważności zachowującą daną strukturę algebraiczną – jedynym właściwym rozwiązaniem jest pozostanie przy relacjach równoważności i zagwarantowanie w algebrze ilorazowej dobrego określenia (niezależności od wyboru reprezentantów) działań pochodzących z algebry wyjściowej.

Na relację równoważności $\scriptstyle \sim$ określoną na $\scriptstyle G,$ w której $\scriptstyle a \sim b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle aH = bH,$ można patrzeć jako na podzbiór $\scriptstyle \Phi \subseteq G \times G.$ Wówczas $\scriptstyle (a, b) \in \Phi$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle a \sim b$ – relację tę nazywa się kongruencją (lewostronną). Przedstawione dalej obserwacje są powtórzeniem rozumowań dotyczących mnożenia warstw, ich związku z relacjami równoważności i roli podgrup normalnych (zob. warstwa: Własności, Wprowadzenie) w języku kongruencji. W zbiorze $\scriptstyle G \times G$ istnieje naturalna struktura grupy odziedziczona z grupy $\scriptstyle G$ (w postaci iloczynu prostego), a ponieważ $\scriptstyle \Phi$ jest podzbiorem $\scriptstyle G \times G,$ to ma sens pytanie, czy i kiedy $\scriptstyle \Phi$ tworzy grupę w $\scriptstyle G \times G.$ Sytuacja ta miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle H$ jest normalna w $\scriptstyle G$; wynika stąd, że mnożenie na zbiorze ilorazowym $\scriptstyle G/\sim$ grupy $\scriptstyle G$ przez relację równoważności $\scriptstyle \sim$ na tej grupie zdefiniowane wzorem $\scriptstyle [a][b] = [ab]$ jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle \Phi$ jest podgrupą w $\scriptstyle G \times G$; co więcej, wszystkie tego rodzaju równoważności wyznaczane są przez podgrupy normalne: jeżeli $\scriptstyle \sim$ jest relacją równoważności na $\scriptstyle G,$ której odpowiada zbiór $\scriptstyle \Phi \subseteq G \times G,$ zaś $\scriptstyle H = \{g \in G\colon g \sim e\},$ to podgrupa $\scriptstyle H$ jest normalna w $\scriptstyle G$ oraz $\scriptstyle a \sim b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle aH = bH$.

Ogólnie relację równoważności $\scriptstyle \sim$ na algebrze ogólnej $\scriptstyle A$ dla której $\scriptstyle \Phi$ jest podalgebrą $\scriptstyle A \times A$ nazywa kongruencją. W przypadku grup i pierścieni można odejść od kongruencji $\scriptstyle \sim$ na rzecz badania indukującej jej podgrupy normalnej $\scriptstyle H$ o powyższej postaci. Przystawanie utożsamia ze sobą pewne elementy, jednakże w przypadku grup zamiast utożsamiać element $\scriptstyle a$ z elementem $\scriptstyle b$ można dokonać utożsamienia $\scriptstyle a^{-1}b$ z elementem neutralnym: podgrupa normalna jest właśnie zbiorem elementów równoważnych elementowi neutralnemu, co tłumaczy intuicję grupy ilorazowej jako grupy $\scriptstyle G,$ w której dokonano utożsamiania jej elementów z elementem neutralnym. W przypadku ogólnych struktur (takich jak półgrupy) nie ma możliwości przedstawienia dowolnego elementu neutralnego w analogicznej postaci, dlatego należy śledzić obie strony odpowiedniej równości. W przypadku grup efektywniejsze operowanie warstwami grupy względem podgrupy (pozostającymi we wzajemnej odpowiedniości z klasami odpowiadających im relacji równoważności, zob. warstwa: Własności), a warunkiem dobrej określoności jest normalność wspomnianej podgrupy (jak pokazano to we Wprowadzeniu); analogiczna sytuacja ma miejsce dla pierścieni, a przez to również modułów, czy przestrzeni liniowych (zob. Uogólnienia).

Własności

Grupa $\scriptstyle G/N$ nie jest podgrupą w $\scriptstyle G,$ gdyż jej elementami są niepuste podzbiory (kompleksy) grupy $\scriptstyle G,$ a nie jej elementy. Ponieważ działanie w $\scriptstyle G/N$ pochodzi od działania w $\scriptstyle G,$ to grupy ilorazowe dziedziczą niektóre z własności grup bazowych: cykliczność, przemienność, nilpotentność, rozwiązalność oraz skończone generowanie; ponadto rząd grupy ilorazowej $\scriptstyle G$ przez $\scriptstyle N$ jest równy z definicji indeksowi $\scriptstyle N$ w $\scriptstyle G,$ tzn. $\scriptstyle |G/N| = [G:N],$ przy czym jeżeli $\scriptstyle G$ jest skończona, to $\scriptstyle |G/N| = \frac{|G|}{|N|}$ (twierdzenia odwrotne nie muszą zachodzić).

Każda grupa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy wolnej.

Rozkład

Jeśli $\scriptstyle N$ jest podgrupą normalną w $\scriptstyle G,$ to przekształcenie $\scriptstyle \pi\colon G \to G/N$ dane wzorem $\scriptstyle \pi(g) = gN$ jest homomorfizmem, a nawet epimorfizmem, nazywanym kanonicznym lub naturalnym o jądrze $\scriptstyle N.$

Twierdzenie o homomorfizmie

Niech $\scriptstyle \varphi\colon G \to G'$ będzie homomorfizmem grup, a $\scriptstyle N$ będzie podgrupą w $\scriptstyle \ker \varphi.$ Wówczas istnieje jeden i tylko jeden homomorfizm $\scriptstyle \tilde \varphi\colon G/N \to G'$ spełniający

$\tilde \varphi \circ \pi = \varphi,$

który dany jest wzorem $\scriptstyle \tilde \varphi(gN) = \varphi(g)$ dla $\scriptstyle g \in G.$

Wynika stąd, iż obraz $\scriptstyle \varphi$ ma tę samą strukturę, co grupa ilorazowa $\scriptstyle G$ przez jądro $\scriptstyle \varphi;$ mianowicie zachodzi

Twierdzenie o izomorfizmie

Niech $\scriptstyle \varphi\colon G \to G'$ będzie homomorfizmem grup, a $\scriptstyle N = \ker \varphi.$ Wówczas istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm $\scriptstyle \tilde \varphi\colon G/N \to G'$ jak w twierdzeniu wyżej i istnieje izomorfizm

$\mathrm{im}\; \varphi \simeq G/\ker \varphi;$

w szczególności: jeżeli $\scriptstyle \varphi$ jest epimorfizmem, to $\scriptstyle \tilde \varphi$ jest wspomnianym izomorfizmem.

Homomorfizm, którego obraz podgrupy normalnej również jest podgrupą normalną nazywa się normalnym; wszystkie epimorfizmy grup są normalne, istnieją jednak monomorfizmy, które nie są normalne. Każdy homomorfizm ma jądro w sensie kategoryjnym; dlatego dowolny homomorfizm $\scriptstyle \varphi$ można przedstawić jako złożenie monomorfizmu $\scriptstyle \tilde \varphi$ oraz epimorfizmu $\scriptstyle \pi.$ Wspomniany rozkład, nazywany również faktoryzacją, można przedstawić za pomocą ciągu homomorfizmów: kolejno monomorfizmu i epimorfizmu między grupami $\scriptstyle \ker \varphi, G, G/\ker \varphi,$ przy czym obraz pierwszego z nich jest jądrem drugiego; krótko

$\ker \varphi \;\hookrightarrow\; G \;\twoheadrightarrow\; G/\ker \varphi$

jest krótkim ciągiem dokładnym. Z tego powodu twierdzenie o izomorfizmie nazywa się też twierdzeniem o faktoryzacji, przy czym można powiedzieć, że to grupa $\scriptstyle G$ rozkłada się/faktoryzuje za pomocą pewnego homomorfizmu na jego jądro i obraz – w ogólności $\scriptstyle G \simeq \ker \varphi \rtimes G/\ker \varphi$ jest iloczynem półprostym. W przypadku grup przemiennych monomorfizmy są zawsze morfizmami normalnymi, dlatego wspomniany rozkład $\scriptstyle G \simeq \ker \varphi \times G/\ker \varphi$ jest iloczynem prostym ($\scriptstyle G \simeq \ker \varphi \oplus G/\ker \varphi$ jest sumą prostą w notacji addytywnej).

Podgrupy

Między zbiorem wszystkich podgrup w $\scriptstyle G$ zawierających $\scriptstyle N$ a zbiorem wszystkich podgrup w $\scriptstyle G/N$ istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Niech $\scriptstyle \mathrm{Sub}(G/N)$ oznacza zbiór podgrup grupy $\scriptstyle G/N,$ a $\scriptstyle \mathrm{Sub}_N(G)$ oznacza zbiór podgrup grupy $\scriptstyle G$ zawierających podgrupę $\scriptstyle N;$ niech podobnie $\scriptstyle \mathrm{NSub}(G/N)$ oraz $\scriptstyle \mathrm{NSub}_N(G)$ będą zbiorami podgrup normalnych odpowiadającymi poprzednim. Wówczas istnieje bijekcja $\scriptstyle (\cdot)^\ast\colon \mathrm{Sub}_N(G) \to \mathrm{Sub}(G/N)$ dana wzorem

$H^\ast = H / N$

dla dowolnej podgrupy $\scriptstyle H \in \mathrm{Sub}_N(G),$ tzn. $\scriptstyle N \subseteq H \subseteq G.$

Podgrupom $\scriptstyle A, B \in \mathrm{Sub}_N(G)$ odpowiadają zatem $\scriptstyle A^\ast, B^\ast \in \mathrm{Sub}(G^\ast).$ Warunek $\scriptstyle A \subseteq B$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle A^\ast \subseteq B^\ast;$ ma też przy tym miejsce równość indeksów $\scriptstyle [B : A] = [B^\ast : A^\ast].$ Ponadto $\scriptstyle (A \cap B)^\ast = A^\ast \cap B^\ast$ oraz $\scriptstyle (A \Cup B)^\ast = A^\ast \Cup B^\ast,$ gdzie $\scriptstyle A \Cup B$ oznacza grupę generowaną przez $\scriptstyle A \cup B$. Wreszcie $\scriptstyle A \in \mathrm{NSub}_N(G)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle A^\ast \in \mathrm{NSub}(G^\ast);$ wówczas $\scriptstyle B/A$ jest izomorficzna z $\scriptstyle B^\ast / A^\ast,$ co jest treścią trzeciego twierdzenia o izomorfizmie.

Przytoczonej listy własności podgrup zachowywanych w powyższej odpowiedniości przy odwzorowaniu na podgrupy grupy ilorazowej nie można uznać za wyczerpującą. Powyższa odpowiedniość jest przykładem koneksji Galois między kratami podgrup danej grupy i jej ilorazu.

Nadgrupy

Grupę $\scriptstyle G$ nazywa się rozszerzeniem grupy $\scriptstyle Q$ przez $\scriptstyle N$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje krótki ciąg dokładny

$N \;\hookrightarrow\; G \;\twoheadrightarrow\; Q,$

gdzie $\scriptstyle \hookrightarrow$ jest monomorfizmem, $\scriptstyle \twoheadrightarrow$ jest epimorfizmem grup (zob. homomorfizm grup) oraz obraz pierwszego homomorfizmu jest jądrem drugiego (por. Rozkład). Wtedy $\scriptstyle N$ jest podgrupą normalną w $\scriptstyle G,$ zaś $\scriptstyle Q$ jest izomorficzna z grupą ilorazową $\scriptstyle G/N.$ Jeżeli $\scriptstyle N$ zawiera się w centrum $\scriptstyle G,$ to $\scriptstyle G$ nazywa się rozszerzeniem centralnym. Idee te dają pewną odpowiedź na tzw. problem rozszerzenia, czyli pytanie o możliwość zrekonstruowania (oraz sposobu samej konstrukcji) w postaci iloczynów prostego lub półprostego grupy $\scriptstyle G$ z grup, które miałyby pełnić dla niej rolę podgrupy normalnej i grupy ilorazowej (przez wspomnianą podgrupę).

Przykłady

Podgrupy trywialna $\scriptstyle E$ i niewłaściwa $\scriptstyle G$ grupy $\scriptstyle G,$ które są w niej normalne, dają najprostsze przykłady grup ilorazowych: $\scriptstyle G/G$ o strukturze grupy trywialnej oraz $\scriptstyle G/E$ mająca strukturę grupy $\scriptstyle G.$ Innym przykładem może być grupa ilorazowa $\scriptstyle (\mathbb Z/n\mathbb Z)^+,$ oznaczana zwykle symbolem $\scriptstyle \mathbb Z_n,$ grupy addytywnej $\scriptstyle \mathbb Z^+$ liczb całkowitych $\scriptstyle \mathbb Z$ przez jej podgrupę normalną $\scriptstyle n\mathbb Z$ wszystkich całkowitych wielokrotności liczby $\scriptstyle n.$

Niech $\scriptstyle \mathbb R^\times$ oznacza grupę multiplikatywną $\scriptstyle \mathbb R,$ tj. niezerowych liczb rzeczywistych z działaniem ich mnożenia, zaś $\scriptstyle \mathbb R^\times_+$ będzie jej podgrupą dodatnich liczb rzeczywistych. Funkcja wartości bezwzględnej $\scriptstyle |\ |\colon \mathbb R^\times \to \mathbb R^\times_+$ dana wzorem $\scriptstyle r \mapsto |r|$ jest epimorfizmem, a ponadto $\scriptstyle \ker |\ | = \{r \in \mathbb R^\times\colon |r| = 1\} = \{-1, 1\}.$ Na mocy twierdzenia o izomorfizmie grupę $\scriptstyle \mathbb R^\times_+$ można utożsamiać z grupą ilorazową $\scriptstyle \mathbb R^\times/\ker |\ |,$ której warstwami są pary liczb przeciwnych $\scriptstyle r\ker |\ | = r\{-1, 1\} = \{-r, r\}$ dla $\scriptstyle r \in \mathbb R^\times,$ a ich mnożenie dane jest dla $\scriptstyle r, s \in \mathbb R^\times$ wzorem

$\{-r, r\} \cdot \{-s, s\} = r\{-1, 1\} \cdot s\{-1, 1\} = rs\{-1, 1\} = \{-rs, rs\}.$

Podobnie jak wyżej podgrupa $\scriptstyle \mathbb R^\times_+$ jest normalna w $\scriptstyle \mathbb R^\times,$ a ponadto wyznacza podział $\scriptstyle \mathbb R^\times$ na dwie warstwy dodatnich $\scriptstyle \mathbb R_+$ oraz ujemnych $\scriptstyle \mathbb R_-$ liczb rzeczywistych; działanie mnożenia warstw można spełnia wtedy

$\mathbb R_+ \cdot \mathbb R_+ = \mathbb R_- \cdot \mathbb R_- = \mathbb R_+ \quad\mbox{ oraz }\quad \mathbb R_+ \cdot \mathbb R_- = \mathbb R_- \cdot \mathbb R_+ = \mathbb R_-;$

w związku z czym utożsamiając warstwy $\scriptstyle \mathbb R_-, \mathbb R_+$ z reprezentującymi je odpowiednio liczbami $\scriptstyle -1, 1$ ustala się izomorfizm grupy ilorazowej $\scriptstyle \mathbb R^\times/\mathbb R^\times_+$ z podgrupą $\scriptstyle \{-1, 1\}$ grupy $\scriptstyle \mathbb R^\times.$ Dlatego epimorfizm $\scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^\times \to \{-1, 1\}$ o jądrze $\scriptstyle \mathbb R^\times_+$ to w istocie funkcja signum (funkcja znaku) dla niezerowej liczby rzeczywistej.

Uogólnienia

Konstrukcja grupy ilorazowej jest punktem wyjścia dla analogicznych struktur, których podstawą jest pewna grupa. Jest tak w przypadku pierścieni, które są grupami przemiennymi (ze względu na dodawanie) z dodatkowym działaniem mnożenia, modułów będących grupami przemiennymi z dodatkowym działaniem mnożenia przez skalary należące do ustalonego pierścienia, które jest zgodne z pozostałymi działaniami, czy przestrzeni liniowych będących modułami, w których pierścień zastąpiono ciałem. Dlatego w ilorazowych: pierścieniu, module, przestrzeni liniowej część teorii dotyczącą struktury grupowej można przyjąć jako daną z góry (w powyższych przykładach: działanie dodawania) skupiając się wyłącznie na zapewnieniu zgodności pozostałych działań w danej strukturze ilorazowej.

Wprowadzając relację równoważności w obiekcie matematycznym danej kategorii dąży się, by uzyskany zbiór ilorazowy był strukturą tego samego rodzaju, co struktura wyjściowa – jak przedstawiono to w tym artykule w przypadku grup. Przykładowo w przestrzeniach topologicznych obecna jest, zwykle niealgebraiczna, struktura nazywana topologią; zadając na niej relację równoważności uzyskuje się przestrzeń ilorazową, czyli zbiór ilorazowy z tzw. topologią ilorazową, tzn. najmniejszą topologią pochodzącą od topologii przestrzeni wyjściowej, dla której odwzorowanie ilorazowe zachowywałoby strukturę topologiczną, tj. było ciągłe (jest to odpowiednik żądania, by odwzorowanie ilorazowe dla grup zachowywało ich strukturę algebraiczną, czyli było homomorfizmem). Jeżeli przestrzeń topologiczna ma również strukturę grupową, jak ma to miejsce w przypadku struktur mieszanych takich jak grupy topologiczne, czy przestrzenie liniowo-topologiczne, to wymaga się zwykle zachowania obu struktur i związków między nimi (w tym przypadku żądając najczęściej, by odwzorowanie ilorazowe było ciągłym homomorfizmem).

Z drugiej strony ze strukturami algebraicznymi wiąże się struktury topologiczne ułatwiające badanie własności algebr za pomocą topologii, tego rodzaju struktury nazywa się często „spektrami”, np. przestrzeń Stone'a dla algebr Boole'a, przestrzeń/spektrum Gelfanda dla C*-algebr (zob. twierdzenie Banacha-Stone'a), przestrzeń/spektrum Berkowicza dla pierścieni Banacha, czy spektrum dowolnego pierścienia przemiennego albo powierzchnia Riemanna (z topologią Zariskiego) dla rozszerzeń ciał.

Zrezygnowanie z warunku normalności podgrupy względem grupy daje strukturę nazywaną przestrzenią jednorodną.

Zobacz też

• kategoria ilorazowa

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4