Grupa kołowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W matematyce, grupa kołowa, oznaczana jako T, to grupa multiplikatywna wszystkich liczb zespolonych o wartości bezwzględnej 1, np. okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej:

\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}.

Grupa kołowa tworzy podgrupę C×, grupę multiplikatywną wszystkich niezerowych liczb zespolonych. Ponieważ C× jest grupą abelową, więc T jest nią również. Grupa kołowa jest również grupą U(1) macierzy unitarnej 1×1, która działa na płaszczyznę zespoloną poprzez rotację wokół początku. Grupa kołowa może być parametryzowana kątem rotacji θ

\theta\mapsto z = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.

Jest to mapa wykładnicza grupy kołowej.

Grupa kołowa pełni ważną funkcję w dualności Pontryagina oraz w teorii grup Liego.

Notacja T wzięła się z faktu, że TnM (iloczyny grup T przez siebie samą n razy) jest geometrycznie n-torusem. Zatem grupa kołowa będzie 1-torusem.

Wprowadzenie elementarne[edytuj | edytuj kod]

Multiplikacja w grupie kołowej jest ekwiwalentem dodawania kątów

Jednym ze sposobów myślenia o grupie kołowej jest opisanie, jak dodawać kąty w strukturze, gdzie dozwolone są tylko kąty od 0° do 360°. Dla przykładu, diagram ilustruje, jak dodać 150° do 270°. Odpowiedzią powinno być 150° + 270° = 420°, ale w przypadku grupy kołowej "zapominamy", że zrobiliśmy już jedno okrążenie, i obcinamy wynik o 360°, co daje nam 420° = 60° (mod 360°).

Inny opis zawiera regularne dodawanie, gdzie dozwolone są tylko liczby od 0 do 1 (gdzie 1 odpowiada pełnemu obrotowi). Aby to osiągnąć, musimy odrzucić cyfry stojące przed przecinkiem dziesiętnym. Na przykład, gdy mamy 0,784 + 0,925 + 0,446, odpowiedzią powinno być 2,155, ale odrzucamy pierwszą dwójkę, wiec odpowiedź, zgodna z grupą kołową, będzie 0,155.

Struktura topologiczna i analityczna[edytuj | edytuj kod]

Grupa kołowa nie jest tylko zwykłym abstrakcyjnym obiektem algebraicznym. Posiada topologię naturalną, w której traktowana jest jako podgrupa płaszczyzny zespolonej. Ponieważ multiplikatywność i inwersja są funkcjami ciągłymi na C×, grupa kołowa posiada strukturę grupy topologicznej. Co więcej, ponieważ koło jednostkowe jest zbiorem domkniętym na płaszczyźnie zespolonej, grupa kołowa jest grupą zamkniętą nad C× (traktuje sama siebie jak grupę topologiczną).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]