Grupa multyplikatywna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy grupy w zapisie multyplikatywnym. Zobacz też: pierścień (matematyka), ciało (matematyka), algebra nad ciałem.

R jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy R^* = R\setminus\{0\}; w przeciwnym razie zbiór R^* jest mniejszy, np. \mathbb{Z}^* = \{1,-1\};

  • algebraiczny torus GL_1 jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa \mathbb{G}_m, ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multyplikatywna; jest rozmaitością grupową.
  • w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych \mathbb{G}_m reprezentowany przez schemat grupowy \mathrm{Spec}\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]; grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym \mathrm{Spec}R jest grupa homomorfizmów pierścieni \mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R[3]; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą R^*: homomorfizmowi f:\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R odpowiada jednoznacznie element f(X), przy czym f(X)f(X^{-1})=1;

Sam schemat \mathrm{Spec}\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right] też jest nazywany grupą multyplikatywną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi

  1. 1,0 1,1 W nowszych publikacjach spotyka się używanie przymiotnika multiplikatywny, który przyjął się prawdopodobnie od angielskiego tłumaczenia przymiotnika multiplicative. Obecnie słownik ortograficzny dopuszcza już tylko formę multi-, jednakże w artykułach o pojęciach algebraicznych będziemy używać formy multy- ze względów tradycyjnych. Przymiotnik multyplikatywny oznacza tyle co odnoszący się do mnożenia. W języku staropolskim, terminem multyplikacja określane było mnożenie.

Przypisy

  1. M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow Podstawy teorii grup, PWN 1976, str. 14
  2. Andrzej Białynicki-Birula Zarys algebry, PWN 1987, str. 47
  3. Davis Mumford Abelian Varieties, Bombay 1968, III§11