Grupa nilpotentna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa nilpotentna – w teorii grup, intuicyjnie grupa „prawie” abelowa. Grupy nilpotentne pojawiają się w teorii Galois, a także w zagadnieniach związanych z klasyfikacją grup, również grup Liego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Grupę G nazywamy nilpotentną, jeżeli istnieje ciąg podgrup normalnych \{e\}=G_0\leqslant G_1\leqslant G_2 \ldots \leqslant G_n=G, że:

  1. G_i\triangleleft G,\; i=0,\ldots,n
  2. grupy ilorazowe G_{i+1}/G_{i}podgrupami centrum Z(G/G_{i}) dla i = 0, 1, 2, \dots, n-1.

Jeśli istnieje ciąg o tej własności to nazywamy go ciągiem centralnym grupy G. Najmniejsze n dla którego grupa G jest nilpotentna, nazywamy stopniem nilpotentności i oznacza \operatorname{nil}\;G.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Następujące warunki są równoważne:

  1. Ciąg \{e\}=G_0\leqslant G_1\leqslant G_2 \ldots \leqslant G_n=G jest centralny.
  2. Ciąg \{e\}=G_0\leqslant G_1\leqslant G_2 \ldots \leqslant G_n=G jest normalny oraz [G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\; i=0,1,\ldots,n-1.
  3. [G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\; i=0,1,\ldots,n-1.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Grupą nilpotentną jest na przykład:

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna.
  • Jeżeli komutant grupy G jest zawarty w jej centrum, to grupa jest nilpotentna.
  • grupy permutacji S_n nie są nilpotentne dla n > 2.
  • Każda podgrupa grupy nilpotentnej klasy n jest grupą nilpotentną klasy co najwyżej n, co więcej to samo dotyczy obrazu homomorficznego grupy nilpotentnej.
  • Następujące zdania są równoważne dla grup skończonych:
  • Ostatnie stwierdzenie może być uogólnione na grupy nieskończone: jeżeli G jest nilpotentna, to każda podgrupa Sylowa G_p grupy G jest normalna, a suma prosta tych podgrup Sylowa jest podgrupą wszystkich elementów skończonego rzędu w G (zob. podgrupa torsyjna).
  • Jeśli grupa G/Z(G) jest nilpotentna stopnia n, to G jest nilpotentna stopnia n+1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002. ISBN 83-904564-9-4. (pol.)
  • M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1978