Grupa permutacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Grupa permutacjigrupa wszystkich bijekcji pewnego zbioru w siebie (czyli permutacji) z działaniem składania pełniącego rolę działania grupowego i identycznością jako elementem neutralnym. Elementem odwrotnym do danego jest funkcja (permutacja) odwrotna do danej, która zawsze istnieje z definicji bijekcji.

Niekiedy nazywana jest ona także grupą symetryczną, zaś przez niektórych autorów[1] nazwa grupy permutacji stosowana jest na określenie jej (właściwej) podgrupy.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

W literaturze matematycznej istnieje szereg różnych systemów oznaczeń używanych w kontekscie grup permutacji.

Gleichgewicht[2] wprowadza symbol S(X)\; na oznaczenie grupy wszystkich permutacji zbioru X. Gdy X=\{1,2,\ldots,n\}, to zamiast S(X)\; pisze on S_n\;. Ten ostatni symbol jest także używany przez Langa[3] oraz Browkina[4]. Natomiast Komorowski[5] używa oznaczeń {\rm Bij}(X,X)\;, \Pi(n)\; na S(X)\;, S_n\; odpowiednio.

Wśród innych oznaczeń spotyka się również \mathfrak{S}(X)\;, \Sigma_n\; oraz {\rm Sym}(X)\;. Ostatni rodzaj oznaczeń jest używany szczególnie w odniesieniu do zbiorów nieskończonych (i wtedy zwykle używa się nazwy grupa symetryczna').

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Gdy X=\{0, 1\}, mamy tylko dwie permutacje zbioru X: 0 \mapsto 0, 1 \mapsto 1 (identycznościowa) oraz 0 \mapsto 1, 1 \mapsto 0 (transpozycja). Jeśli X=\{0, 1, 2\}, to mamy już 6 permutacji.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Kurosch A. G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59-62.
  2. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5
  3. Lang, Serge: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. Strona 70.
  4. Browkin, Jerzy: Teoria Ciał. Biblioteka Matematyczna Tom 49. Państwowe Wydawnictow Naukowe, Warszawa 1978. Strona 37 i kolejne.
  5. Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.