Grupa trywialna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy grup o najprostszej możliwej strukturze. Zobacz też: podgrupa trywialna.

Grupa trywialna[1] – w teorii grup grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami[2].

Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np. grupa addytywna \scriptstyle \mathbb Z_1 = \{0\} z działaniem dodawania modulo \scriptstyle 1, grupa multiplikatywna \scriptstyle \mathbb Z_2^\times = \{1\} z działaniem mnożenia modulo \scriptstyle 2 (zob. arytmetyka modularna[3]), grupa pierwiastków z jedynki \scriptstyle \mathbb C_1 = \{1\} nad ciałem liczb zespolonych[4], czy grupa permutacji \scriptstyle S_1 = \{\mathrm{id}\} zbioru jednoelementowego[5], lecz wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są ze sobą izomorficzne. Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym \scriptstyle E = \{e\} można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe \scriptstyle \heartsuit, które uczyniłoby z niego grupę[6]. Wówczas wzór

e\ \heartsuit\ e = e

opisuje wszystkie zależności w grupie; wynika z niego w szczególności, iż \scriptstyle e pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. \scriptstyle E, czy \scriptstyle \mathbf 1 (w notacji multiplikatywnej) albo \scriptstyle \mathbf 0 (w notacji addytywnej).

Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty); jako taka jest ona zatem przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna. W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.

Przypisy

  1. Zob. trywialność w matematyce.
  2. Grupa nie może być określona na zbiorze pustym, gdyż jeden z jej aksjomatów wymaga wyróżnienia elementu pełniącego rolę elementu neutralnego.
  3. W obu przypadkach można użyć działań o dowolnym module, a nawet standardowych działań arytmetycznych.
  4. Ogólniej: dowolnym ciałem.
  5. Grupa permutacji \scriptstyle S_1 (nazywana też grupą bijekcji lub grupą symetryczną) jest tożsama z grupą alternującą \scriptstyle A_1 oraz grupą diedralną \scriptstyle D_0 (przy założeniu konstrukcji na wychodzącej od grup przekształceń).
  6. Zob. grupa wolna.