Grupa trywialna

Grupa trywialna – grupa zawierająca dokładnie jeden element.

Definicja

Niech zbiór $G=\{e\}$, wówczas grupę $(G, \cdot)$ nazywa się grupą trywialną. Z definicji działania dwuargumentowego w grupie $G$ zachodzi tylko jedno działanie:

$e \cdot e = e$.

Grupę trywialną oznacza się czasem jako $\mathbb Z_1,\; C_1, E$, lecz zwykle używa się oznaczenia $\mathbf 1$ lub nawet $\mathbf 0$.

Uwaga

Nie należy mylić grupy trywialnej ze zbiorem pustym (mimo że spełniają podobne role w swoich kategoriach), który w przeciwieństwie do niej nie posiada elementu neutralnego!

Własności

• Każda grupa zawiera podgrupę trywialną, ponieważ zawiera ona element neutralny – element rzędu 1.
• Grupa trywialna jest cykliczna, jej generatorem jest zbiór pusty, zatem również abelowa.

Zobacz też

• lista małych grup