Grupa trywialna

Grupa trywialna – w teorii grup grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami.

Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np. grupa addytywna $\scriptstyle \mathbb Z_1 = \{0\}$ z działaniem dodawania modulo $\scriptstyle 1,$ grupa multiplikatywna $\scriptstyle \mathbb Z_2^\times = \{1\}$ z działaniem mnożenia modulo $\scriptstyle 2$ (zob. arytmetyka modularna), grupa pierwiastków z jedynki $\scriptstyle \mathbb C_1 = \{1\}$ nad ciałem liczb zespolonych, czy grupa permutacji $\scriptstyle S_1 = \{\mathrm{id}\}$ zbioru jednoelementowego, lecz wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są ze sobą izomorficzne. Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym $\scriptstyle E = \{e\}$ można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe $\scriptstyle \heartsuit,$ które uczyniłoby z niego grupę. Wówczas wzór

$e\ \heartsuit\ e = e$

opisuje wszystkie zależności w grupie; wynika z niego w szczególności, iż $\scriptstyle e$ pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. $\scriptstyle E,$ czy $\scriptstyle \mathbf 1$ (w notacji multiplikatywnej) albo $\scriptstyle \mathbf 0$ (w notacji addytywnej).

Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty); jako taka jest ona zatem przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna. W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.