Grupa uporządkowana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa uporządkowana - grupa (G, +) z relacją częściowego porządku ≤, który dla wszelkich a, b, g, ab, spełnia warunek a + gb + g. Element gG spełniający warunek 0 ≤ G nazywany bywa elementem dodatnim, a zbiór wszystkich elementów dodatnich w G oznaczany jest symbolem G+ i nazywany jest stożkiem dodatnim w G. W danej grupie G można wprowadzić strukturę grupy uporządkowanej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór HG (nazywany stożkiem) o następujących własnościach:

  • 0H,
  • jeśli aH oraz bH, to a+bH,
  • jeśli aH, to -x+a+xH dla każdego x of G,
  • jeśli aH oraz -aH, to a=0.

Gdy H jest stożkiem spełniającym powyższe warunki, to relacja ≤ określona warunkiem ab wtedy i tylko wtedy, gdy b - aH jest częściowym porządkiem oraz (G, +) jest grupą uporządkowaną.

Przykładem grupy uporządkowanej jest dowolna podgrupa grupy liczb rzeczywistych (z porządkiem dziedziczonym z prostej rzeczywistej).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L. Fuchs, Partially Ordered Algebraic Systems, Pergamon Press, 1963.