Grupa wolna

Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak $st^{-1} = su^{-1}ut^{-1}$, gdzie $s, t, u$ należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.

Definicja formalna

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę $F$ nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór $X \subseteq F\,$ taki, że każde przekształcenie $X\,$ w dowolną grupę $G\,$ można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu $f\colon F \to G\,$.

Można udowodnić, że każdy taki zbiór $X\,$ musi być układem generatorów grupy $F\,$, tzn. nie ma podgrupy $F' \subseteq F\,$ spełniącej $X \subseteq F'\,$ i $F' \ne F\,$.

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór $X\,$. Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

Własności

• Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
• Każda grupa $G\,$ jest obrazem ustalonego homomorfizmu $h\,$ pewnej grupy wolnej $F\,$.
• Jeżeli $H = \ker h\,$, to obraz układu wolnych generatorów grupy $F\,$ tworzy układ generatorów grupy $G\,$.
• Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że $f(k) = e\,$, gdzie $k \in H\,$ są generatorami $H\,$ ($e\,$ oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę $G\,$.
• Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.

Przykłady

• Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
• Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter $l, p, L, P \,$ w których nie występują pary $[l,p], [p,l], [L,P], [P,L]\;.$ Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par czyli np.:
  • $llPl*Pl=llPlPl\;$
  • $llPl*lPl=llPllPl\;$
  • $llPp*lP=llPP\;$
  • $llPl*pL=ll\;$
  • $llPl*pLpp=\varnothing$ czyli ciąg pusty.

tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: $\{l ,L\}$ . Elementem odwrotnym do $l$ jast $p$; odwrotnym do $L$ jest $P$. Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter $\langle l,\ p\rangle$ oraz $\langle L,\ P\rangle$. Elementem neutralnym - ciąg pusty.

Zobacz też

• grupa rozwiązalna
• homomorfizm

Bibliografia

• Alexei Ivanovich Kostrikin, Igor Shafarevich: Algebra I. Basic notations of Algebra. Springer, s. 134.