Grupa z operatorami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa z operatorami lub \Omega-grupa – w algebrze abstrakcyjnej, struktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeniach o izomorfizmie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Grupa z operatorami (G, \Omega) to grupa G z rodziną funkcji \Omega:

\omega\colon G \to G, \quad \omega \in \Omega,

które są rozdzielne względem działania grupowego. \Omega nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami G.

Obraz elementu g grupy przy funkcji \omega oznacza się g^\omega. Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

\forall_{\omega \in \Omega}\; \forall_{g, h \in G}\; (gh)^\omega = g^\omega h^\omega.

Podgrupa S grupy G nazywana jest podgrupą stabilną, \omega-podgrupą lub podgrupą \Omega-niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

\forall_{s \in S}\; \forall_{\omega \in \Omega}\; s^\omega \in S.

Uwagi teoriokategoryjne[edytuj | edytuj kod]

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów \mathbf{Grp_M}, gdzie \mathbf M jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a \mathbf{Grp} oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

\Omega \to \operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G),

gdzie \operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G) jest zbiorem endomorfizmów grupowych G.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Bourbaki, Nicolas: Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3. Springer-Verlag, 1998. ISBN 3-540-64243-9.