Grupa z operatorami

Grupa z operatorami lub $\Omega$-grupa – w algebrze abstrakcyjnej, struktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeniach o izomorfizmie.

Definicja

Grupa z operatorami $(G, \Omega)$ to grupa $G$ z rodziną funkcji $\Omega$:

$\omega\colon G \to G, \quad \omega \in \Omega$,

które są rozdzielne względem działania grupowego. $\Omega$ nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami $G$.

Obraz elementu $g$ grupy przy funkcji $\omega$ oznacza się $g^\omega$. Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

$\forall_{\omega \in \Omega}\; \forall_{g, h \in G}\; (gh)^\omega = g^\omega h^\omega$.

Podgrupa $S$ grupy $G$ nazywana jest podgrupą stabilną, $\omega$-podgrupą lub podgrupą $\Omega$-niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

$\forall_{s \in S}\; \forall_{\omega \in \Omega}\; s^\omega \in S.$

Uwagi teoriokategoryjne

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów $\mathbf{Grp_M}$, gdzie $\mathbf M$ jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a $\mathbf{Grp}$ oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

$\Omega \to \operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G)$,

gdzie $\operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G)$ jest zbiorem endomorfizmów grupowych $G$.

Przykłady

• Dla danej grupy $G$ struktura $(G, \varnothing)$ jest w sposób trywialny grupą z operatorami,
• Dla danego $R$-modułu $M$ grupa $R$ działa na dziedzinie operatorów $M$ przez mnożenie przez skalar. Dokładniej: każda przestrzeń liniowa jest grupą z operatorami.

Zobacz też

• działanie grupy

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas: Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3. Springer-Verlag, 1998. ISBN 3-540-64243-9.