Hiperboloida

Hiperboloida dwupowłokowa

Hiperboloidowa wieża w Ciechanowie

Hiperboloida – nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli wokół osi symetrii hiperboli rozłącznej z nią (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi prostopadłej do poprzedniej, przechodzącej przez oba wierzchołki hiperboli (hiperboloida dwupowłokowa), a także każda otrzymana z takiej przez przekształcenie afiniczne przestrzeni. Każda hiperboloida ma środek symetrii oraz co najmniej trzy osie i trzy płaszczyzny symetrii.

Można ją opisać wzorem

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1$  (hiperboloida jednopowłokowa)

lub

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=-1$  (hiperboloida dwupowłokowa).

Równanie hiperboloidy można sparametryzować poprzez funkcję $f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ daną wzorem:

$f(s,t)= \left(a \, \sqrt{s^2+1} \cos t, \, b \, \sqrt{s^2+1} \sin t, \, cs \right)$ (dla hiperboloidy jednopowłokowej)

lub

$f(s,t)= \left(a \, \sqrt{s^2-1} \cos t, \, b \, \sqrt{s^2-1} \sin t, \, cs \right)$ (dla hiperboloidy dwupowłokowej).

Zastosowanie kształtu

W XIX wieku kształt hiperboloidy obrotowej nadawano panoramom malarskim dla spotęgowania efektu zacierania się granicy między powierzchnią płótna, a przestrzenią przed nim. Jednym z przykładów takiego zastosowania jest Panorama Racławicka. Także koła zębate przekładni hipoidalnych mają kształt hiperboloidy dwupowłokowej, a jej nazwa prawdopodobnie powstała ze skrótu: hiperboloidalna > hipoidalna.

Linki zewnętrzne

• Hiperboloidy (ang.)
• Hiperboloida w encyklopedii MathWorld (ang.)