Hiperkula

Hiperkula - w geometrii, zwyczajowa nazwa uogólnienia kuli w $n\$-wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich $\mathbb{R}^n$. Tak więc hiperkulą może być nazwane zarówno dwuwymiarowe koło, jak i trój-, cztero- lub pięciowymiarowa kula; jednak pojęcia tego używa się najczęściej dla cztero- lub więcej wymiarowych kul.

Wygląd hiperkuli

Rzut na płaszczyznę siatki pokrywającej hiperkulę czterowymiarową

Wyobrażenie sobie wielowymiarowej (cztero-, pięcio-, lub więcej) hiperkuli jest trudne dla człowieka, ponieważ przestrzeń z czterema lub większą liczbą wymiarów leży poza granicami ludzkiej, trójwymiarowej percepcji. Można narysować rzut hiperkuli na płaszczyznę, lub ewentualnie skonstruować rzut na przestrzeń trójwymiarową - dostajemy jednak wówczas odpowiednio zwykłe koło i zwykłą kulę. Można też pokryć powierzchnię hiperkuli siatką (odpowiadającą siatce równoleżników i południków na kuli) i narysować jej rzut. Uzyskujemy wówczas rysunek taki jak obok.

Definicja hiperkuli

Hiperkulą o środku w punkcie $S=(s_1, \ldots, s_n)$ i promieniu długości $r\$ nazywamy zbiór punktów przestrzeni $\mathbb{R}^n$ spełniających nierówność

$(x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\ldots+(x_n-s_n)^2\leqslant r^2.$

Brzegiem hiperkuli jest zbiór punktów przestrzeni $\mathbb{R}^n$ spełniających równanie

$(x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\ldots+(x_n-s_n)^2= r^2.$

Zbiór ten nazywamy hipersferą. Hipersfera będąca brzegiem kuli $n\,$-wymiarowej jest obiektem $(n-1)\,$-wymiarowym, podobnie jak brzeg dwuwymiarowego koła jest obiektem jednowymiarowym - krzywą zwaną okręgiem.

Wzory

Wzór jawny

$n$-wymiarową objętość $n\$ -wymiarowej hiperkuli o promieniu $r\$ można obliczyć ze wzoru:

$V_{n}=\frac { \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}\cdot r^{n} = \begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot r^n & \mbox{dla }n=2k, \\[2ex] \displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over n!!}\cdot r^n & \mbox{dla } n=2k-1, \end{cases}$

gdzie $\Gamma\$ oznacza funkcję gamma, $\pi\$ to stała matematyczna wynosząca $\pi \approx 3{,}141593,$ zaś symbol $n!!\$ oznacza silnię podwójną. Wraz ze wzrostem liczby wymiarów, hiperkula wypełnia coraz mniejszą część hipersześcianu, w który jest wpisana. Stosunek ich objętości maleje do zera, gdy $n\$ dąży do nieskończoności.

$(n-1)$-wymiarowa powierzchnia hiperkuli jest związana prostym wzorem z jej objętością:

$S_n=\frac{n V_n}{r}.$

Wzór rekurencyjny

$n$-wymiarową objętość $n\$ -wymiarowej hiperkuli można policzyć, całkując odpowiednio $(n-1)$ -wymiarową hiperkulę, przy czym 0-wymiarowa hiperkula jest punktem o objętości równej 1, co jest warunkiem brzegowym tego wzoru.

$V_{n}(r)=\begin{cases} \displaystyle 1 & \mbox{dla }n=0, \\[2ex] \displaystyle \int\limits^r_{-r} \,V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) dx & \mbox{dla } n>0. \end{cases}$

Tak więc dla kolejnych $n$-wymiarowych hiperkul objętość wynosi (do dwunastego wymiaru):

n	Wzór na uogólnioną objętość (Vn):
$0\$	$V_{0}= 1$
$1\$	$V_{1}= 2 \cdot r$
$2\$	$V_{2}=\pi \cdot r^2 \simeq 3{,}141593 \cdot r^2 \,$
$3\$	$V_{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3 \simeq 4{,}1887902\ \cdot r^3$
$4\$	$V_4=\frac {\pi^2 } {2}\ \cdot r^{4} \simeq 4{,}9348022 \cdot r^{4}$
$5\$	$V_5=\frac{8 \cdot \pi^{2}}{15} \cdot r^{5} \simeq 5{,}263789 \cdot r^{5}$
$6\$	$V_6=\frac{\pi^{3}}{6} \cdot r^{6} \simeq 5{,}1677128 \cdot r^{6}$
$7\$	$V_7=\frac { 16 \cdot \pi^{3}} {105 } \cdot r^{7} \simeq 4{,}724766 \cdot r^{7}$
$8\$	$V_8=\frac {\pi^{4}}{24} \cdot r^{8} \simeq 4{,}0587121 \cdot r^{8}$
$9\$	$V_9=\frac {32 \cdot \pi^{4}}{945} \cdot r^{9} \simeq 3{,}2985089 \cdot r^{9}$
$10\$	$V_{10} = \frac{\pi^{5}}{120} \cdot r^{10} \simeq 2{,}550164 \cdot r^{10}$
$11\$	$V_{11} = \frac{64 \cdot \pi^{5}}{10395} \cdot r^{11} \simeq 1{,}8841039 \cdot r^{11}$
$12\$	$V_{12} = \frac{\pi^{6}}{720} \cdot r^{12} \simeq 1{,}3352628 \cdot r^{12}$
$\infty\$	$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{V_n}{r^n}\ = 0$

Zobacz też

• kula
• wielowymiarowy równoległościan
• tesserakt
• wymiar