Hipersfera

Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym

Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera w matematyce to uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja

Dla dowolnej liczby naturalnej n, hipersfera o promieniu r jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1) wymiarowej, które znajdują się w odległości r od wybranego punktu środkowego c, gdzie r jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a c to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1)-wymiarowej.

$S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x-c\| = r\right\}.$

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w (n+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności:

• hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka
• hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie
• hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej
• hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy hipersferą jednostkową, oznaczaną Sⁿ. Często terminem hipersfera określa się właśnie hipersferę jednostkową. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli (n+1)-wymiarowej. Dla n ≥ 2, hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne

Zbiór punktów w przestrzeni (n+1)-wymiarowej (x₁,x₁,x₂,…,x_n+1), który tworzy hipersferę opisuje równanie

$r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - c_i)^2.\,$

gdzie c to punkt środkowy, a r to promień.

Hiperkula

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy (n+1)-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

• hiperkula 1-wymiarowa to odcinek
• hiperkula 2-wymiarowa to koło
• hiperkula 3-wymiarowa to kula

Rozmiar

Objętość wnętrza

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue'a obszaru ograniczanego przez hipersferę (n-1)-wymiarową o promieniu $R$, który jest hiperkulą n-wymiarową, ma postać:

$V_n(R) = C_n R^n \,$

gdzie $C_n$ jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

$C_n = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}$

w którym $\Gamma \,$ to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik $C_n$ upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

$C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \,$

i nieparzystych

$C_{2k+1} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2k+1)} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{(2k+1)!!} \,$

Zestawienie wartości współczynników $C_n$

Wymiar n	Współczynnik $C_n$	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
0	$1\,$	1,00000	Punkt
1	$2\,$	2,00000	Długość odcinka
2	$\pi\,$	3,14159	Pole koła
3	$\frac43\pi\,$	4,18879	Objętość kuli
4	$\frac12\pi^2\,$	4,93480
5	$\frac8{15}\pi^2\,$	5,26379
6	$\frac16\pi^3\,$	5,16771
7	$\frac{16}{105}\pi^3\,$	4,72478
8	$\frac1{24}\pi^4\,$	4,05871

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów n > 5, rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

$\lim_{n \to \infty}V_n = 0~.$

Powierzchnia

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery (n-1)-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli n-wymiarowej względem promienia

$S_{n-1}(R) = \frac{d}{dR} V_n(R) = \frac{d}{dR} C_n R^n = n C_n R^{n-1} = C^*_{n-1} R^{n-1}$

gdzie $C^*_{n-1}$, podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

$C^*_{n-1} = n C_n = {n\pi^{\frac{n}{2}} \over \Gamma(\frac{n}{2} + 1)} = \begin{cases} \displaystyle 0 & \mbox{dla }n=0, \\[2ex] \displaystyle {n\pi^{\frac{n}{2}} \over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} = {2\pi^{\frac{n}{2}} \over \Gamma(\frac{n}{2})} & \mbox{dla }n > 0 \end{cases}$

Zestawienie wartości współczynników $C^*_{n-1}$

Wymiar n-1	Współczynnik $C^*_{n-1}$	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
-1	$0\,$	0,00000
0	$2\,$	2,00000	Liczba punktów tworzących sferę
1	$2\pi\,$	6,28318	Długość okręgu
2	$4\pi\,$	12,56637	Powierzchnia kuli
3	$2\pi^2\,$	19,73920
4	$\frac{8}{3}\pi^2\,$	26,31894
5	$\pi^3\,$	31,00627
6	$\frac{16}{15}\pi^3\,$	33,07336
7	$\frac{1}{3}\pi^4\,$	32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach n > 6 ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

$\lim_{n \to \infty}S_n = 0~.$

Wymiary ułamkowe

Wzory na S_n i V_n można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych n ≥ 0, w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy n nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni x-wymiarowej jako funkcja ciągła x

Powierzchnia jednostkowej sfery (x–1)-wymiarowej

Objętość jednostkowej kuli x-wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n-wymiarowej, w których składowymi są promień $r\,$ i (n-1) współrzędnych kątowych $\phi _1 , \phi _2 , \dots , \phi _{n-1} \,$ gdzie $\phi_{n-1} \,$ zawiera się w przedziale $[0, 2 \pi) \,$, a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale $[0, \pi] \,$.

Jeśli przez $x_i$ oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

$x_1 = r \cos(\phi_1) \,$

$x_2 = r \sin(\phi_1) \cos(\phi_2) \,$

$x_3 = r \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \cos(\phi_3) \,$

$\begin{align} {}\,\,\,\vdots\\ \end{align}$

$x_{n-1} = r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \cos(\phi_{n-1}) \,$

$x_n = r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \sin(\phi_{n-1}) \,.$

Zobacz też

• Hipersześcian
• Rozmaitość

Linki zewnętrzne

• Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)
• Weisstein, Eric W., „Hypersphere” na MathWorld.