Hipersfera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym
Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera w matematyce to uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej liczby naturalnej n, hipersfera o promieniu r jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1) wymiarowej, które znajdują się w odległości r od wybranego punktu środkowego c, gdzie r jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a c to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1)-wymiarowej.

S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x-c\| = r\right\}.

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w (n+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności:

  • hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka
  • hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie
  • hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej
  • hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy hipersferą jednostkową, oznaczaną Sn. Często terminem hipersfera określa się właśnie hipersferę jednostkową. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli (n+1)-wymiarowej. Dla n ≥ 2, hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne[edytuj | edytuj kod]

Zbiór punktów w przestrzeni (n+1)-wymiarowej (x1,x1,x2,…,xn+1), który tworzy hipersferę opisuje równanie

r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - c_i)^2.\,

gdzie c to punkt środkowy, a r to promień.

Hiperkula[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: hiperkula.

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy (n+1)-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

  • hiperkula 1-wymiarowa to odcinek
  • hiperkula 2-wymiarowa to koło
  • hiperkula 3-wymiarowa to kula

Rozmiar[edytuj | edytuj kod]

Objętość wnętrza[edytuj | edytuj kod]

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue'a obszaru ograniczanego przez hipersferę (n-1)-wymiarową o promieniu R, który jest hiperkulą n-wymiarową, ma postać:

V_n(R) = C_n R^n \,

gdzie C_n jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

C_n = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}

w którym \Gamma \, to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik C_n upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \,

i nieparzystych

C_{2k+1} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2k+1)} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{(2k+1)!!} \,
Zestawienie wartości współczynników C_n
Wymiar
n
Współczynnik
C_n
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
0 1\, 1,00000 Punkt
1 2\, 2,00000 Długość odcinka
2 \pi\, 3,14159 Pole koła
3 \frac43\pi\, 4,18879 Objętość kuli
4 \frac12\pi^2\, 4,93480  
5 \frac8{15}\pi^2\, 5,26379  
6 \frac16\pi^3\, 5,16771  
7 \frac{16}{105}\pi^3\, 4,72478  
8 \frac1{24}\pi^4\, 4,05871  

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów n > 5, rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

\lim_{n \to \infty}V_n = 0~.

Powierzchnia[edytuj | edytuj kod]

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery (n-1)-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli n-wymiarowej względem promienia

S_{n-1}(R) = \frac{d}{dR} V_n(R) = \frac{d}{dR} C_n R^n = n C_n R^{n-1} = C^*_{n-1} R^{n-1}

gdzie C^*_{n-1}, podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

C^*_{n-1} = n C_n = {n\pi^{\frac{n}{2}} \over \Gamma(\frac{n}{2} + 1)} =
\begin{cases}
 \displaystyle 0 & \mbox{dla }n=0, \\[2ex]
 \displaystyle {n\pi^{\frac{n}{2}} \over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} = {2\pi^{\frac{n}{2}} \over \Gamma(\frac{n}{2})} & \mbox{dla }n > 0
\end{cases}
Zestawienie wartości współczynników C^*_{n-1}
Wymiar
n-1
Współczynnik
C^*_{n-1}
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
-1 0\,  0,00000
0 2\,  2,00000 Liczba punktów tworzących sferę
1 2\pi\,  6,28318 Długość okręgu
2 4\pi\, 12,56637 Powierzchnia kuli
3 2\pi^2\, 19,73920  
4 \frac{8}{3}\pi^2\, 26,31894  
5 \pi^3\, 31,00627  
6 \frac{16}{15}\pi^3\, 33,07336  
7 \frac{1}{3}\pi^4\, 32,46969  

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach n > 6 ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

\lim_{n \to \infty}S_n = 0~.

Wymiary ułamkowe[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Wzory na Sn i Vn można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych n ≥ 0, w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy n nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni x-wymiarowej jako funkcja ciągła x

Powierzchnia jednostkowej sfery (x–1)-wymiarowej
Objętość jednostkowej kuli x-wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne[edytuj | edytuj kod]

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n-wymiarowej, w których składowymi są promień r\, i (n-1) współrzędnych kątowych \phi _1 , \phi _2 , \dots , \phi _{n-1} \, gdzie \phi_{n-1} \, zawiera się w przedziale [0, 2 \pi) \,, a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale [0, \pi] \,.

Jeśli przez x_i oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

x_1 = r \cos(\phi_1) \,
x_2 = r \sin(\phi_1) \cos(\phi_2) \,
x_3 = r \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \cos(\phi_3) \,

\begin{align}
{}\,\,\,\vdots\\
\end{align}
x_{n-1} = r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \cos(\phi_{n-1}) \,
x_n = r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \sin(\phi_{n-1}) \,.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]