Hiperskończony faktor typu II1

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hiperskończony faktor typu II1 – jedyny z dokładnością do izomorfizmu faktor R (tj. algebra von Neumanna o trywialnym centrum), działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta, mający skończony ślad oraz, którego suma skończenie wymiarowych pod-C*-algebr jest gęsta w słabej topologii operatorowej. Jedyność R została udowodniona przez Murraya i von Neumanna[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Hiperskończony faktor typu II1 R jest minimalny w tym sensie, że każdy nieskończenie wymiarowy faktor N zawiera R. Co więcej, każdy faktor zawarty w R jest izomorficzny z R.
  • Dla każdego niezerowego rzutu pR istnieje izomorfizm pRpR.
  • K0(R) = ℝ.
  • R jest injektywną algebrą von Neumanna (injektywność oznacza tutaj injektywność w klasie systemów operatorowych z morfizmami będącymi całkowicie dodatnimi odwzorowaniami liniowymi. (Wynika to z twierdzenia mówiącego, że w klasie faktorów pojęcia injektyności i hiperskończoności pokrywają się). Czasami R jest definiowane jako jedyna injektywny faktor o skończonym śladzie działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta.
  • Dla każdej ośrodkowej algebry UHF A istnieje izomorfizm RA**. W szczególności, R jest granicą prostą ciągu induktywnego algebr macierzy M2k(ℂ) (w kategorii algebr von Neumanna)
M_2(\mathbb{C}) \longrightarrow M_{2^2}(\mathbb{C}) \longrightarrow \ M_{2^3}(\mathbb{C}) \longrightarrow\ldots
gdzie każdy morfizm M2k(ℂ) → M2k + 1(ℂ) zachowuje jedność.

Przypisy

  1. F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators IV Ann. of Math. (2), 44 (1943), 716–808.