Hipoteza Goldbacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Hipoteza Goldbacha jest problemem teorii liczb, liczącym sobie ponad 250 lat i ciągle nierozstrzygniętym. Znajduje się (wraz z hipotezą Riemanna) na liście problemów Hilberta.

Sformułowanie problemu[edytuj | edytuj kod]

W 1742 roku, w liście do Leonharda Eulera, Christian Goldbach przedstawił hipotezę, że

każda liczba naturalna większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).

Goldbach uznawał 1 za liczbę pierwszą; konwencja ta nie jest obecnie stosowana. Przy tym ograniczeniu hipotezę można przeformułować, przyjmując jej prawdziwość dla liczb naturalnych większych niż 5.

Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że sformułowanie hipotezy Goldbacha można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób:

każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Powyższą hipotezę, do dzisiaj nazywaną "hipotezą Goldbacha", sformułował w rezultacie Euler, jednak nazwa nie została zmieniona.

Próby rozwiązania[edytuj | edytuj kod]

Dzięki użyciu komputerów udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 · 1017 (przez przedstawienie każdej z tych liczb w postaci sumy dwóch liczb pierwszych). Co więcej, większość współczesnych matematyków uważa, iż jest ona prawdziwa, ponieważ ze względu na stosunkowo gęsty rozkład liczb pierwszych wydaje się, że większe liczby parzyste coraz łatwiej jest przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

Pomimo licznych prób oraz wysokich nagród finansowych ufundowanych za jej udowodnienie lub obalenie, hipoteza Goldbacha pozostaje do dnia dzisiejszego nierozstrzygnięta. Do chwili obecnej udowodniono jedynie, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma co najwyżej sześciu liczb pierwszych, a także, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma liczby pierwszej oraz liczby, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze (Chen 1966). Wykazano, że zbiór liczb parzystych nie spełniających hipotezy Goldbacha ma gęstość 0 (tj. wraz ze wzrostem n odsetek liczb parzystych mniejszych od n, które nie spełniają hipotezy Goldbacha, dąży do 0). Bliska udowodnienia jest też tzw. słaba hipoteza Goldbacha, która głosi, że każdą liczbę nieparzystą większą od 7 można wyrazić jako sumę trzech nieparzystych liczb pierwszych. Wiadomo, że ta hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych większych od około 101346 (Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze 2002); niestety podane ograniczenie wciąż nie umożliwia uzupełnienia dowodu przez komputerową analizę pozostałych przypadków. Włoski matematyk prof. Agostino Prastaro ogłosił 13 sierpnia 2012 roku, że udowodnił hipotezę Goldbacha, a swoją pracę upublicznił na portalu preprintowym z artykułami matematycznymi. Na razie nie potwierdzono prawdziwości dowodu zaproponowanego przez włoskiego matematyka.

W maju 2013 H.A. Helfgott zamieścił w arXiv pracę zawierającą dowód słabej hipotezy Goldbacha dla liczb nieparzystych większych od 1030[1]. Także i ten dowód wymaga sprawdzenia i potwierdzenia przez matematyków.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]