Hipoteza Kurepy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hipoteza Kurepy (ozn. KH od ang. the Kurepa Hypothesis) – zdanie teorii mnogości postulujące istnienie obiektów nazywanych drzewami Kurepy; jest ono niezależne od standardowych aksjomatów ZFC (nie można go udowodnić ani obalić na gruncie tych aksjomatów).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Drzewo to porządek częściowy (T, \sqsubseteq) o własności: dla każdego t\in T zbiór \{s\in T\colon s\sqsubset t\} jest dobrze uporządkowany (przez relację \sqsubseteq). Niech (T,\sqsubseteq) będzie drzewem. Wysokością {\rm ht}(t) elementu t w drzewie T nazywa się typ porządkowy zbioru  \{s\in T\colon s\sqsubset t\}. Dla każdej liczby porządkowej \alpha definiuje się \alpha-ty poziom drzewa T jako zbiór

{\rm Lev}_\alpha(T)=\{t\in T\colon{\rm ht}(t)=\alpha\}.

Drzewo (T,\sqsubseteq) spełniające

  • {\rm Lev}_\alpha(T)\ne\varnothing dla każdej przeliczalnej liczby \alpha<\omega_1, ale {\rm Lev}_{\omega_1}(T)=\varnothing

oraz

  • (\forall\alpha<\omega_1)(|{\rm Lev}_\alpha(T)|<\omega_1)

nazywa się \omega_1-drzewem.

Jeżeli (T,\sqsubseteq) jest \omega_1-drzewem, to łańcuch C\subseteq T nazywa się gałęzią w drzewie T, jeśli

(\forall\alpha<\omega_1)(C\cap {\rm Lev}_\alpha(T)\ne \varnothing)

Drzewo Kurepy to \omega_1-drzewo (T,\sqsubseteq), w którym istnieją przynajmniej \omega_2 gałęzie. Hipotezą Kurepy (ozn. KH) nazywa się zdanie stwierdzające „istnieje drzewo Kurepy”.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Wzmocnienie \diamondsuit^+ diamentu Jensena implikuje KH. Zatem hipoteza Kurepy jest spełniona w uniwersum konstruowalnym L.
  • Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to pewne pojęcie forsingu forsuje ¬KH (przeczenie KH). Zatem, jeśli niesprzeczna jest teoria ZFC + „istnieje liczba nieosiągalna”, to niesprzeczne jest również ZFC + ¬KH.
  • Powyżej liczba nieosiągalna jest niezbędna, gdyż ¬KH pociąga nieosiągalność \omega_2 w L.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]