Hipoteza Pólyi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hipoteza Pólyi - matematyczna hipoteza, mówiąca że dla dowolnej liczby naturalnej n>1, co najmniej 50% liczb naturalnych mniejszych od n ma nieparzystą liczbę czynników pierwszych. Hipotezę tę postawił w 1919 roku węgierski matematyk George Pólya. W 1958 roku wykazano, że jest to nieprawdą.

Hipoteza[edytuj | edytuj kod]

Suma wartości funkcji Liouville'a do n=10^4
Suma wartości funkcji Liouville'a do n=10^7

Hipoteza Pólyi mówi, że jeżeli dla dowolnego n > 1 podzielimy liczby naturalne mniejsze od n na dwie grupy, w zależności od tego, czy dana liczba ma parzystą, czy nieparzystą liczbę czynników pierwszych, to w pierwszej grupie nigdy nie będzie więcej liczb niż w drugiej. Powtórzone czynniki pierwsze liczymy odpowiednią liczbę razy, na przykład: 24 = 23 * 31 ma 3+1 = 4 czynniki pierwsze.

Równoważnie, przy użyciu funkcji Liouville'a, hipotezę tę można zapisać jako

L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leqslant 0

dla wszystkich n, gdzie \lambda(k)=(-1)^{\Omega(k)} ma wartość +1 gdy liczba czynników pierwszych k jest parzysta, a -1 gdy jest nieparzysta.

Obalenie[edytuj | edytuj kod]

Hipoteza Pólyi została obalona przez C. B. Haselgrove'a w 1958 roku. Pokazał on że istnieje kontrprzykład, rozmiaru oszacowanego przez niego na 1,845 × 10361. Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.

Dokładny kontrprzykład równy n=906180359 został podany przez R. S. Lehmana w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący n=906150257, podał Minoru Tanaka w 1980 roku.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • R.S. Lehman, On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, (1980) 187-189.