Hipoteza continuum

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hipoteza continuum (CH, ang. continuum hypothesis) – postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.

Posługując się rozumowaniem przekątniowym Cantor wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być daleko nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma. Fakt, że nie potrafił on jej udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.

W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermelo-Fraenkela. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

W nowoczesnym sformułowaniu (pod założeniem aksjomatu wyboru) hipotezą continuum nazywa się następujące zdanie:

\aleph_1 = \mathfrak c,

gdzie po lewej stronie równości znajduje się pierwsza nieprzeliczalna liczba kardynalna, a po prawej – liczba kardynalna continuum.

Uogólniona hipoteza continuum (GCH, ang. generalized continuum hypothesis) to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego A nie istnieje zbiór B, którego moc byłaby większa od mocy zbioru A, ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego A. Uogólniona hipoteza continuum pociąga aksjomat wyboru. Jednym z jej następstw jest następujące twierdzenie Yesenina-Volpina:

Pod założeniem GCH dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej \lambda istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa K ciężaru \lambda o tej własności, że każda przestrzeń Banacha ciężaru \lambda jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią liniową przestrzeni C(K), tj. przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na K z normą supremum[1].

Przypisy

  1. A.C. Yesenin-Volpin, „On the existence of a universal bicompact of arbitrary weight”, Dokl. Akad. Nauk USSR 68 (1949), 649–652.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]