Holomorficzność nieskończeniewymiarowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać ją za część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

Funkcje holomorficzne o wartościach wektorowych na płaszczyźnie zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Pierwszym krokiem w rozszerzaniu teorii funkcji holomorficznych na więcej niż jeden wymiar zespolony jest rozważanie tzw. funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych, które nadal są określone na płaszczyźnie zespolonej \mathbb C, lecz przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha. Tego rodzaju funkcje są istotne na przykład podczas budowania holomorficznej analizy funkcjonalnej (ang. holomorphic functional calculus) dla ograniczonych operatorów liniowych.

Funkcję f\colon U \to X określoną na podzbiorze otwartym U płaszczyzny zespolonej o wartościach w zespolonej przestrzeni Banacha X nazywa się holomorficzną, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym, tzn. dla każdego punktu z \in U istnieje granica

f'(z) = \lim_{\zeta \to z}~\frac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z}.

Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej f\colon U \to X o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej \gamma\colon [a, b] \to U można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci

\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f(\gamma(t_k))(\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})),

gdzie a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b jest podziałem przedziału [a, b], przy długościach podziałów dążących do zera.

Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy'ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli f\colon U \to X jest taką funkcją i T\colon X \to \mathbb C jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż

T\left(\int_\gamma f(z)\,\operatorname dz\right) = \int_\gamma (T \circ f)(z)\,\operatorname dz.

Więcej, złożenie funkcji T \circ f\colon U \to \mathbb C jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w U, całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy'ego. Zatem, ponieważ T jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że

\int_\gamma f(z)\,\operatorname dz = 0,

co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy'ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.

Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy'ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.

Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji f\colon U \to X jest, że T \circ f\colon U \to \mathbb C jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego T\colon X \to \mathbb C. Taka funkcja f jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami Banacha[edytuj | edytuj kod]

Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha X i Y nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego U w X funkcję f\colon U \to Y nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie U istnieje pochodna Frécheta funkcji f. W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżności[1].

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami liniowo-topologicznymi[edytuj | edytuj kod]

W pełnej ogólności, dla danych dwóch przestrzeni liniowo-topologicznych X i Y nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego U w X istnieje wiele sposobów definiowania holomorficzności funkcji f\colon U \to Y. W przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego, gdy X oraz Y są nieskończonego wymiaru, własności funkcji holomorficznych mogą zależeć od wybranej definicji. Aby ograniczyć liczbę rozważanych przypadków omówiona zostanie holomorficzność w przypadku, gdy X i Ylokalnie wypukłe.

Sekcja ta przedstawia listę definicji pojęcia od najsłabszego do najsilniejszego. Kończy się ona dyskusją na temat niektórych twierdzeń wiążących wspomniane definicje, gdy przestrzenie X i Y spełniają pewne dodatkowe warunki.

Holomorficzność w sensie Gâteaux[edytuj | edytuj kod]

Holomorficzność Gâteaux jest bezpośrednim uogólnieniem słabej holomorficzności na w pełni nieskończeniewymiarowy przypadek.

Niech X i Y będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi, a U \subseteq X będzie zbiorem otwartym. Funkcja f\colon U \to Y jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych a \in U oraz b \in X i każdego ciągłego funkcjonału liniowego \varphi określonego na Y funkcja

f_\phi(z) = \phi \circ f(a + zb)

jest funkcją holomorficzną zmiennej z w otoczeniu z = 0. Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem \operatorname{H_G}(U, Y).

W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach X skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.

Przykłady
  • Jeżeli f jest określona na U, to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla x \in U oraz h_1, \dots, h_k \in X pochodna Gâteaux k-tego rzędu \operatorname D^k f(x)\{h_1, \dots, h_k\} zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki h_i, która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem h_i, ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni X.
  • Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora:
    f(x + y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \widehat{\operatorname D}^n f(x)(y).
Symbol \widehat{\operatorname D}^n f(x)(y) oznacza wielomian jednorodny stopnia n zmiennej y związanej z operatorem wieloliniowym \operatorname D^n f(x). Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli V \subseteq X jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach 0 \in Y, jednak jeżeli V może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.
  • dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie:
Jeżeli f\colon (U \subseteq X_1) \times (V \subseteq X_2) \to Y jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy f jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.

Hipoanalityczność[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f\colon (U \subseteq X) \to Y jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli f \in \operatorname{H_G}(U, Y) oraz f jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach U.

Holomorficzność[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f \in \operatorname{H_G}(U, Y) jest holomorficzna, jeżeli dla każdego x \in U rozwinięcie w szereg Taylora

f(x + y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \widehat{\operatorname D}^n f(x)(y)

(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem y w otoczeniu 0 \in X. Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy. Zbiór funkcji holomorficznych oznacza się symbolem \operatorname H(U, Y).

Holomorficzność lokalnie ograniczona[edytuj | edytuj kod]

O funkcji f\colon (U \subseteq X) \to Y mówi się, że jest lokalnie ograniczona, jeżeli każdy punkt U ma otoczenie, którego obraz względem f jest ograniczony w Y. Jeżeli f jest dodatkowo holomorficzna w sensie Gâteaux na U, to f jest lokalnie ograniczenie holomorficzna (ang. locally bounded holomorphic), co oznacza się f \in \operatorname{H_{LB}}(U, Y).

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Richard V. Kadison, John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementary theory. American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0819-2. (zob. rozdział 3.3.)
  • Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985. ISBN 0-8247-7231-8.