Holomorficzność nieskończeniewymiarowa

Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać ją za część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

Funkcje holomorficzne o wartościach wektorowych na płaszczyźnie zespolonej

Pierwszym krokiem w rozszerzaniu teorii funkcji holomorficznych na więcej niż jeden wymiar zespolony jest rozważanie tzw. funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych, które nadal są określone na płaszczyźnie zespolonej $\mathbb C,$ lecz przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha. Tego rodzaju funkcje są istotne na przykład podczas budowania holomorficznej analizy funkcjonalnej (ang. holomorphic functional calculus) dla ograniczonych operatorów liniowych.

Funkcję $f\colon U \to X$ określoną na podzbiorze otwartym $U$ płaszczyzny zespolonej o wartościach w zespolonej przestrzeni Banacha $X$ nazywa się holomorficzną, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym, tzn. dla każdego punktu $z \in U$ istnieje granica

$f'(z) = \lim_{\zeta \to z}~\frac{f(\zeta) - f(z)}{\zeta - z}.$

Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej $f\colon U \to X$ o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej $\gamma\colon [a, b] \to U$ można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f(\gamma(t_k))(\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})),$

gdzie $a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$ jest podziałem przedziału $[a, b],$ przy długościach podziałów dążących do zera.

Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy'ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli $f\colon U \to X$ jest taką funkcją i $T\colon X \to \mathbb C$ jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż

$T\left(\int_\gamma f(z)\,\operatorname dz\right) = \int_\gamma (T \circ f)(z)\,\operatorname dz.$

Więcej, złożenie funkcji $T \circ f\colon U \to \mathbb C$ jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w $U,$ całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy'ego. Zatem, ponieważ $T$ jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że

$\int_\gamma f(z)\,\operatorname dz = 0,$

co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy'ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.

Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy'ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.

Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji $f\colon U \to X$ jest, że $T \circ f\colon U \to \mathbb C$ jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego $T\colon X \to \mathbb C.$ Taka funkcja $f$ jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami Banacha

Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha $X$ i $Y$ nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego $U$ w $X$ funkcję $f\colon U \to Y$ nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie $U$ istnieje pochodna Frécheta funkcji $f.$ W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżności.

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami liniowo-topologicznymi

W pełnej ogólności, dla danych dwóch przestrzeni liniowo-topologicznych $X$ i $Y$ nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego $U$ w $X$ istnieje wiele sposobów definiowania holomorficzności funkcji $f\colon U \to Y.$ W przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego, gdy $X$ oraz $Y$ są nieskończonego wymiaru, własności funkcji holomorficznych mogą zależeć od wybranej definicji. Aby ograniczyć liczbę rozważanych przypadków omówiona zostanie holomorficzność w przypadku, gdy $X$ i $Y$ są lokalnie wypukłe.

Sekcja ta przedstawia listę definicji pojęcia od najsłabszego do najsilniejszego. Kończy się ona dyskusją na temat niektórych twierdzeń wiążących wspomniane definicje, gdy przestrzenie $X$ i $Y$ spełniają pewne dodatkowe warunki.

Holomorficzność w sensie Gâteaux

Holomorficzność Gâteaux jest bezpośrednim uogólnieniem słabej holomorficzności na w pełni nieskończeniewymiarowy przypadek.

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi, a $U \subseteq X$ będzie zbiorem otwartym. Funkcja $f\colon U \to Y$ jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych $a \in U$ oraz $b \in X$ i każdego ciągłego funkcjonału liniowego $\varphi$ określonego na $Y$ funkcja

$f_\phi(z) = \phi \circ f(a + zb)$

jest funkcją holomorficzną zmiennej $z$ w otoczeniu $z = 0.$ Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem $\operatorname{H_G}(U, Y).$

W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach $X$ skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.

Przykłady

• Jeżeli $f$ jest określona na $U,$ to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla $x \in U$ oraz $h_1, \dots, h_k \in X$ pochodna Gâteaux $k$-tego rzędu $\operatorname D^k f(x)\{h_1, \dots, h_k\}$ zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki $h_i,$ która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem $h_i,$ ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni $X.$

• Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora:

  $f(x + y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \widehat{\operatorname D}^n f(x)(y).$

Symbol $\widehat{\operatorname D}^n f(x)(y)$ oznacza wielomian jednorodny stopnia $n$ zmiennej $y$ związanej z operatorem wieloliniowym $\operatorname D^n f(x).$ Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli $V \subseteq X$ jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach $0 \in Y,$ jednak jeżeli $V$ może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.

• dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie:

Jeżeli $f\colon (U \subseteq X_1) \times (V \subseteq X_2) \to Y$ jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy $f$ jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.

Hipoanalityczność

Funkcja $f\colon (U \subseteq X) \to Y$ jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli $f \in \operatorname{H_G}(U, Y)$ oraz $f$ jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach $U.$

Holomorficzność

Funkcja $f \in \operatorname{H_G}(U, Y)$ jest holomorficzna, jeżeli dla każdego $x \in U$ rozwinięcie w szereg Taylora

$f(x + y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \widehat{\operatorname D}^n f(x)(y)$

(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem $y$ w otoczeniu $0 \in X.$ Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy. Zbiór funkcji holomorficznych oznacza się symbolem $\operatorname H(U, Y).$

Holomorficzność lokalnie ograniczona

O funkcji $f\colon (U \subseteq X) \to Y$ mówi się, że jest lokalnie ograniczona, jeżeli każdy punkt $U$ ma otoczenie, którego obraz względem $f$ jest ograniczony w $Y.$ Jeżeli $f$ jest dodatkowo holomorficzna w sensie Gâteaux na $U,$ to $f$ jest lokalnie ograniczenie holomorficzna (ang. locally bounded holomorphic), co oznacza się $f \in \operatorname{H_{LB}}(U, Y).$

Bibliografia

• Richard V. Kadison, John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementary theory. American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0819-2. (zob. rozdział 3.3.)
• Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985. ISBN 0-8247-7231-8.