Homologia singularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homologia singularna - w topologii algebraicznej pojęcie odnoszące się do badania pewnego rodzaju algebraicznych niezmienników przestrzeni topologicznych, zwanych grupami homologii singularnej. Homologia singularna jest szczególnym przykładem teorii homologii, których liczba w ciągu ostatniego półwiecza znacząco wzrosła. Ponieważ jest budowana na dość konkretnych fundamentach, jest jedną z mniej abstrakcyjnych i prostszych do zrozumienia teorii homologii.

W skrócie, konstrukcja homologii singularnych polega na rozpatrywaniu przekształceń ze standardowego n-sympleksu w daną przestrzeń topologiczną \,X\,. Przekształcenia te łączymy w formalne sumy, otrzymując dla każdego n \ge 0 wolną grupę abelową. Grupy te są połączone operatorami brzegu, a całość tworzy kompleks łańcuchowy. Grupy homologii singularnych to po prostu grupy homologii tego kompleksu łańcuchowego. Dla homotopijnie równoważnych przestrzeni otrzymujemy izomorficzne grupy, co pozwala patrzeć na nie jak na pewnego rodzaju algebraiczne niezmienniki, przyporządkowane klasom homotopijnej równoważności przestrzeni. Ponieważ konstrukcję tę można przeprowadzić dla dowolnych przestrzeni topologicznych, a ciągłe przekształcenia między przestrzeniami indukują morfizmy grup homologii tych przestrzeni, homologie singularne można wyrazić w terminach teorii kategorii jako funktor z kategorii przestrzeni topologicznych do kategorii grup abelowych z gradacją.

Kompleks łańcuchów singularnych[edytuj | edytuj kod]

Ustalmy przestrzeń topologiczną X. Singularnym n-sympleksem w przestrzeni X nazywamy dowolne ciągłe przekształcenie \sigma \colon \Delta^n \to X ze standardowego n-sympleksu w przestrzeń X. Przekształcenie nie musi być różnowartościowe i jego obraz nie musi wcale wyglądać jak sympleks - może mieć różnorakie "osobliwości" (ang. singularities), skąd nazwa.

Niech dla każdego n \ge 0, C_n(X) będzie wolną grupą abelową generowaną przez zbiór S_n(X) wszystkich singularnych n-sympleksów w przestrzeni X, tj. grupą wszystkich skończonych formalnych sum postaci

\sum_i n_i \sigma_i

dla n_i \in \mathbb{Z}, \sigma_i \in S_n(X). Nazywamy tę grupę grupą n-wymiarowych łańcuchów singularnych w przestrzeni X. Określmy dla n > 0 operator brzegu \partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}, zadany na generatorach C_n(X) wzorem:

\partial_n(\sigma) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma | [v_0, v_1, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_n]

gdzie [v_0, v_1, \ldots, v_n] oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach v_0, v_1, \ldots, v_n. Wzór ten oznacza, że obrazem singularnego n-sympleksu jest suma singularnych (n-1)-sympleksów będących obcięciami n-sympleksu do jego ścian, ze współczynnikami równymi naprzemiennie 1 i -1.

Proste przekształcenia algebraiczne pozwalają stwierdzić, że \partial_{n-1} \partial_n = 0, zatem grupy łańcuchów wraz z operatorami brzegu tworzą kompleks łańcuchowy, zwany kompleksem singularnym.

Grupy homologii singularnych[edytuj | edytuj kod]

Mając ustaloną przestrzeń \mathrm{X}, możemy określić grupy homologii singularnych \,H_n(X)\, jako grupy homologii stowarzyszone z kompleksem singularnym.

Dla przykładu, biorąc za \mathrm{X} przestrzeń jednopunktową \{ x_0 \}, zauważamy, że dla każdego n \ge 0 istnieje dokładnie jeden n-sympleks singularny w \mathrm{X}. W związku z tym, grupy łańcuchów \,C_n(X)\, są izomorficzne z \mathbb{Z} i generowane przez ten jedyny sympleks. Operator brzegu \partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X) w zależności od parzystości n przeprowadza generator na 0 lub na generator \,C_{n-1}(X)\,, gdyż w formalnej sumie będącej efektem zastosowania operatora brzegu wszystkie (n-1)-sympleksy są identyczne, a 1 i -1 się redukują, pozostawiając jeden wyraz albo nic.

Mamy zatem następujący kompleks łańcuchowy:

\cdots \, \xrightarrow{\simeq} \, \mathbb{Z} \, \xrightarrow{0} \, \mathbb{Z} \, \xrightarrow{\simeq} \, \mathbb{Z} \, \xrightarrow{0} \, \mathbb{Z} \, \xrightarrow{\simeq} \, \mathbb{Z} \, \xrightarrow{0} \, \mathbb{Z} \, \xrightarrow{0} \, 0

Widać natychmiast, że homologie tego kompleksu są równe H_n(X) = 0 dla n > 0 i H_0(X) = \mathbb{Z}.

Indukowane morfizmy[edytuj | edytuj kod]

Mając dane przekształcenie f: X \to Y możemy określić przekształcenia f_\bullet: C(X) \to C(Y) wzorem

\,f_n(\sigma) = f \sigma\,

Łatwo zauważyć, że f_\bullet = (f_n)_{n \in \mathbb{N}} jest przekształceniem łańcuchowym, tzn. zachodzi równość:

\partial_n f_n =  f_{n-1} \partial_n

Wynika z tego, że f_n przeprowadza cykle na cykle i brzego na brzegi, zatem indukuje homomorfizm na poziomie grup homologii f_n: H_n(X) \to H_n(Y).

Morfizmy indukowane są użytecznym narzędziem w badaniu przestrzeni i przekształceń pomiędzy nimi. Umożliwia to podstawowa własność morfizmów indukowanych: homotopijne przekształcenia indukują ten sam morfizm na grupach homologii. Razem z innymi własnościami, takimi jak:

  • (f g)_\bullet = f_\bullet g_\bullet
  • \mathrm{id}_\bullet = \mathrm{id}

pozwala to na zauważenie, że homotopijnie równoważne przestrzenie muszą mieć izomorficzne grupy homologii. Istotnie, dla przestrzeni X, Y i przekształceń f: X \to Y, g: Y \to X, takich że  f g \simeq \mathrm{id}_X, g f \simeq \mathrm{id}_Y, musimy mieć (f g)_\bullet = f_\bullet g_\bullet = \mathrm{id}_\bullet = \mathrm{id}, skąd f_n: H_n(X) \to H_n(Y) dla każdego n \ge 0 jest izomorfizmem z odwrotnością g: H_n(Y) \to H_n(X).

Na przykład, grupy homologii kuli w przestrzeni euklidesowej (lub ogólnie, przestrzeni ściągalnych) są zerowe we wszystkich wymiarach poza zerem, gdzie są równe \mathbb{Z}, bo mają typ homotopii punktu.

Homologie relatywne[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Homologie relatywne są użytecznym narzędziem do badania relacji między przestrzenią a jej podprzestrzenią. Dla danej podprzestrzeń \,A \subset X\,, można określić n-tą grupę relatywnych łańcuchów w A względem X jako

\,C_n(X, A) = C_n(X)/C_n(A)

Operator brzegu \partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X) przeprowadza łańcuchy zawarte w \,A\, na łańcuchy zawarte \,A\,, a więc indukuje operator brzegu \partial'_n: C_n(X, A) \to C_{n-1}(X, A). Zależność \partial'_{n-1} \partial'_{n} = 0 jest prawdziwa, bo była prawdziwa przed przejściem do operatorów indukowanych. Grupy łańcuchów relatywnych tworzą więc kompleks łańcuchowy, a jego homologie zapisuje się jako \,H_n(X, A)\, i nazywa się je homologiami X względem A.

Następujący krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych:

0 \rightarrow C_n(A) \rightarrow C_n(X) \rightarrow C_n(X, A) \rightarrow 0

można na podstawie lematu o wężu wyprostować do długiego ciągu dokładnego homologii relatywnych:

\cdots \rightarrow H_{n+1}(X, A) \xrightarrow{\partial} H_n(A) \rightarrow H_n(X) \rightarrow H_n(X, A) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \rightarrow \cdots

gdzie \partial to naturalne przekształcenia uzyskane z lematu o wężu.

Własność wycinania[edytuj | edytuj kod]

Fundamentalną własnością relatywnych grup homologii jest możliwość wycinania: jeżeli zbiór Z jest zawarty dostatecznie "głęboko" wewnątrz A, to możemy go "wyciąć", nie zmieniając relatywnych grup homologii.

Bardziej formalnie, jeżeli Z jest takim zbiorem, że jego domknięcie jest zawarte we wnętrzu A, to włożenie (X - Z, A - Z) \to (X, A) indukuje izomorfizm grup homologii relatywnych: H_n(X - Z, A - Z) \simeq H_n(X, A). Równoważnie, jeżeli wnętrza podprzestrzeni A, B \subset X pokrywają X (tzn. \textrm{int} A \cup \textrm{int} B = X), to włożenie (B, A \cap B) \to (X, A) indukuje izomorfizm H_n(B, A \cap B) \simeq H_n(X, A).

Homologie zredukowane[edytuj | edytuj kod]

Definiuje się grupy homologii zredukowanych przestrzeni X poprzez uzupełnienie zwykłego kompleksu łańcuchów singularnych o dodatkowy składnik w \mathbb{Z} w wymiarze -1:

\cdots \rightarrow C_2(X) \xrightarrow{\partial_2} C_1(X) \xrightarrow{\partial_1} C_0(X) \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z} \rightarrow 0,

gdzie \epsilon(\sum_i n_i \sigma_i) = \sum_i n_i. Dowodzi się, że tak określone przekształcenie \epsilon spełnia tożsamość \epsilon \partial_1 = 0. Homologie zredukowane \tilde{H}_n(X) przestrzeni X to wtedy po prostu homologie tego kompleksu. Z zależności \epsilon \partial_1 = 0 wynika, że \epsilon indukuje przekształcenie H_0(X) \to \mathbb{Z} z jądrem \tilde{H}_0(X), skąd H_0(X) \simeq \tilde{H}_0(X) \oplus \mathbb{Z}. Oczywiście, H_n(X) = \tilde{H}_n(X) dla n > 0.

Analogicznie do zwykłych homologii relatywnych definiuje się zredukowane homologie relatywne. Istnieje również odpowiednik długiego ciągu dokładnego homologii relatywnych dla homologii zredukowanych. Powstaje on poprzez uzupełnienie krótkiego ciągu dokładnego kompleksów łańcuchowych:

0 \rightarrow C_n(A) \rightarrow C_n(X) \rightarrow C_n(X, A) \rightarrow 0

o dodatkowy ciąg dokładny w wymiarze -1:

0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\textrm{id}} \mathbb{Z} \rightarrow 0 \rightarrow 0.

W szczególności, oznacza to, że H_n(X, A) \simeq \tilde{H}_n(X, A), o ile A \ne \emptyset.

Zapisując długi ciąg dokładny zredukowanych homologii relatywnych dla pary (X, x_0), gdzie x_0 \in X jest dowolnym punktem X, otrzymujemy:

\cdots \rightarrow \tilde{H}_{n+1}(X, x_0) \xrightarrow{\partial} \tilde{H}_n(x_0) \rightarrow \tilde{H}_n(X) \rightarrow \tilde{H}_n(X, x_0) \xrightarrow{\partial} \tilde{H}_{n-1}(x_0) \rightarrow \cdots

otrzymujemy izomorfizm \tilde{H}_n(X) \simeq \tilde{H}_n(X, x_0) = H_n(X, x_0) dla każdego n, ponieważ \tilde{H}_n(x_0) = 0 dla każdego n.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]