Homomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Homomorfizmfunkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech:

  • \mathcal A = (A, f_1, \dots, f_n) i \mathcal B = (B, g_1, \dots, g_n) będą algebrami ogólnymi tego samego typu,
  • h\colon A \to B będzie funkcją przekształcającą zbiór A\, w zbiór B\,,
  • dla i = 1, \dots, n niech a(i)\, będzie argumentowością operacji f_i\, oraz g_i\, (liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry \mathcal A i \mathcal B mają ten sam typ).

Wtedy h\, jest homomorfizmem algebry \mathcal A w algebrę \mathcal B, jeśli dla każdego i = 1, \dots, n oraz ciągu (x_1, x_2, \dots, x_{a(i)}) elementów zbioru A\, zachodzi równość:

h\left(f_i(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})\right) = g_i\left(h(x_1), h(x_2), \dots, h(x_{a(i)})\right).

Oznacza to, że dla każdego i = 1, \dots, n odwzorowanie h\, przeprowadza operację f_i\, w operację g_i\,.

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, np.:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech \mathrm G = (\mathbb{G}, +, 0)\, oraz \mathrm H = (\mathbb{H}, \oplus, \theta) będą grupami (w zapisie addytywnym), choć niekoniecznie abelowymi oraz h\colon G \to H. Jeżeli \forall_{a,\; b \in G}\; h(a + b) = h(a) \oplus h(b), to h\, jest homomorfizmem grupy \mathrm G\, w grupę \mathrm H\,. Istotnie, h\, przeprowadza działanie grupowe +\, na działanie \oplus na mocy powyższego założenia.
Odwzorowanie h\, przekształca element neutralny względem działania w \mathrm G\, na element neutralny względem działania \mathrm H\,, to znaczy ma miejsce równość h(0) = \theta. Ponadto \forall_{a \in G}\; h(-a) = -h(a).

Rodzaje homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm, który jest:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]