Homomorfizm

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech:

  • \mathcal A = (A, f_1, \dots, f_n) i \mathcal B = (B, g_1, \dots, g_n) będą algebrami ogólnymi tego samego typu,
  • h\colon A \to B będzie funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B,
  • dla i = 1, \dots, n niech a(i) będzie argumentowością operacji fi oraz gi (liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry \mathcal A i \mathcal B mają ten sam typ).

Wtedy h jest homomorfizmem algebry \mathcal A w algebrę \mathcal B, jeśli dla każdego i = 1, \dots, n oraz ciągu (x_1, x_2, \dots, x_{a(i)}) elementów zbioru A zachodzi równość:

h\left(f_i(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})\right) = g_i\left(h(x_1), h(x_2), \dots, h(x_{a(i)})\right).

Oznacza to, że dla każdego i = 1, \dots, n odwzorowanie h przeprowadza operację fi w operację gi.

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, np.:

[edytuj] Przykłady

Niech G = (G, + , − ,0) oraz \mathrm H = (H, \oplus, \ominus, \theta) będą grupami abelowymi (to założenie nie jest konieczne – przykład obowiązuje również dla grup w ogólności) oraz h\colon G \to H. Załóżmy, że \forall_{a,\; b \in G}\; h(a + b) = h(a) \oplus h(b). Wtedy h jest homomorfizmem grupy G w grupę H. Istotnie, h przeprowadza działanie grupowe + na działanie \oplus na mocy powyższego założenia.

Ponadto można łatwo pokazać, że h przekształca element neutralny względem działania w G na element neutralny względem działania H, to znaczy ma miejsce równość h(0) = θ. Podobnie, nietrudno wykazać, że \forall_{a \in G}\; h(-a) = \ominus h(a).

Oznaczmy przez G zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania + oraz przez H zbiór liczb rzeczywistych z działaniem \cdot będącym zwykłym mnożeniem tych liczb. Wtedy homomorfizmem h może być funkcja wykładnicza h(x) = ex, która przesyła sumę 2 + 3 na iloczyn e^2 \cdot e^3 = e^{2+3}.

[edytuj] Rodzaje homomorfizmów

Homomorfizm, który jest:

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Homomorfizm”
Utwórz książkę