Homomorfizm

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Definicja

Niech:

• $\mathcal A = (A, f_1, \dots, f_n)$ i $\mathcal B = (B, g_1, \dots, g_n)$ będą algebrami ogólnymi tego samego typu,
• $h\colon A \to B$ będzie funkcją przekształcającą zbiór $A\,$ w zbiór $B\,$,
• dla $i = 1, \dots, n$ niech $a(i)\,$ będzie argumentowością operacji $f_i\,$ oraz $g_i\,$ (liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry $\mathcal A$ i $\mathcal B$ mają ten sam typ).

Wtedy $h\,$ jest homomorfizmem algebry $\mathcal A$ w algebrę $\mathcal B$, jeśli dla każdego $i = 1, \dots, n$ oraz ciągu $(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})$ elementów zbioru $A\,$ zachodzi równość:

$h\left(f_i(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})\right) = g_i\left(h(x_1), h(x_2), \dots, h(x_{a(i)})\right)$.

Oznacza to, że dla każdego $i = 1, \dots, n$ odwzorowanie $h\,$ przeprowadza operację $f_i\,$ w operację $g_i\,$.

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, np.:

• homomorfizm grup,
• homomorfizm pierścieni,
• homomorfizm przestrzeni liniowych (przekształcenie liniowe),
• homomorfizm modułów.

Przykłady

• Niech $\mathrm G = (\mathbb{G}, +, 0)\,$ oraz $\mathrm H = (\mathbb{H}, \oplus, \theta)$ będą grupami (w zapisie addytywnym, choć niekoniecznie abelowymi oraz $h\colon G \to H$. Jeżeli $\forall_{a,\; b \in G}\; h(a + b) = h(a) \oplus h(b)$, to $h\,$ jest homomorfizmem grupy $\mathrm G\,$ w grupę $\mathrm H\,$. Istotnie, $h\,$ przeprowadza działanie grupowe $+\,$ na działanie $\oplus$ na mocy powyższego założenia.

Odwzorowanie $h\,$ przekształca element neutralny względem działania w $\mathrm G\,$ na element neutralny względem działania $\mathrm H\,$, to znaczy ma miejsce równość h(0) = θ. Ponadto $\forall_{a \in G}\; h(-a) = -h(a)$.

• Niech $\mathrm G\,$ oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania $+\,$, a $\mathrm H\,$ zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia $\cdot$. Wtedy homomorfizmem $h\,$ jest np. funkcja wykładnicza $h(x) = \exp(x)\,$.

Rodzaje homomorfizmów

Homomorfizm, który jest:

• iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
• suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
• bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
• odwzorowaniem struktury w samą siebie, nazywamy endomorfizmem,
• wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.

Zobacz też

• antyhomomorfizm