Homomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizmfunkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak monoid, grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania (wyjaśniono to niżej). Istnienie homomorfizmu między algebrami wskazuje na identyczność ich struktury. Badanie istnienia homomorfizmów między algebrami ogólnymi pozwala je porównywać. Słowo homomorphism pochodzi od słów antycznego języka greckiego ὅμοιος (homoios) = podobny i μορφή (morphē) = kształt, forma.

Homomorfizm między grupami[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathrm G = (G, +, 0)\, oraz \mathrm H = (H, \oplus, \theta) oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie f\, nazywamy homomorfizmem grupy \mathrm G\, w grupę \mathrm H jeżeli spełnione są warunki:

a) f: G\to H

tzn. f\, jest funkcją ze zbioru elementów G w zbiór elementów H

b) \forall_{a,\; b \in G}\; f(a + b) = f(a) \oplus f(b)

tzn. wynik działania + wykonanego na wszystkich parach elementów a, b zbioru G jest równy wynikowi działania \oplus wykonanego na obrazach tych elementów f(a) , f(b) (wynik ten jest na pewno elementem zbioru H, ponieważ operacja \oplus jest działaniem w H).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe +\, na działanie \oplus.

Twierdzenie:[edytuj | edytuj kod]

Tw. Jeżeli f\, jest homomorfizmem f: G\to H, to

a) f\, przekształca element neutralny działania + w \mathrm G\, na element neutralny działania \oplus w \mathrm H\,, tzn.

f(0) = \theta.

b) f\, przekształca element odwrotny działania + w \mathrm G\, na element odwrotny działania \oplus w \mathrm H\,, tzn.

\forall_{a \in G}\; f(-a) = \ominus f(a),

gdzie -a oznacza element przeciwny do elemetu a w \mathrm G\,, zaś \ominus f(a) oznacza element przeciwny do f(a) w \mathrm H\,.

Typy homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm pierścieni[edytuj | edytuj kod]

a) Liczby rzeczywiste R tworzą pierścień z działaniami dodawania i mnożenia liczb.

b) Zbiór macierzy 2 x 2 jest pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia macierzy.

Definiujemy funkcję ze zbioru R na zbiór macierzy

\forall_{r\in\mathbb{R}} \,\,f(r) = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix}

Funkcja f jest homomorfizmem pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiegof(r+s) = \begin{pmatrix}
  r+s & 0 \\
   0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)

2) zachowuje mnożenie

f(r\cdot s) = \begin{pmatrix}
  r\cdot s & 0 \\
   0 & r\cdot s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\cdot f(s)

3) element neutralny dodawania w R przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

 f(0)=\begin{pmatrix}
   0& 0 \\
   0 & 0
\end{pmatrix}

4) element neutralny mnożenia w R przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

 f(1)=\begin{pmatrix}
   1& 0 \\
   0 & 1
\end{pmatrix}

Homomorfizm grup[edytuj | edytuj kod]

1) Zbiory niezerowych liczb zespolonych \mathbb{C}_{\ne 0}=\mathbb{C}-\{0\} oraz niezerowych liczb rzeczywistych \mathbb{R}_{\ne 0}=\mathbb{R}-\{0\} tworzy grupy z działaniami mnożenia (zero nie należy obu grup, ponieważ dla mnożenia nie ma elementu odwrotnego do zera, co jest jednym z warunków, by element należał do grupy utworzonej przez dane działanie). Definiujemy funkcje f: \mathbb{C}_{\ne 0}\to\mathbb{R}_{\ne 0} która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł:

f(z)=|z|

Funkcja ta jest homomorfizmem z \mathbb{C}_{\ne 0} do \mathbb{R}_{\ne 0} , gdyż odtwarza działanie mnożenia w \mathbb{R}_{\ne 0}

f(z_1\cdot z_2) = |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot|z_2| = f(z_1) \cdot f(z_2)

2) Zauważmy, że mimo iż zbiory \mathbb{C}_{\ne 0} oraz \mathbb{R}_{\ne 0} są pierścieniami, to powyżej zdefiniowana funkcja f nie może być rozszerzona jako homomorfizm z pierścienia \mathbb{C}_{\ne 0} do pierścienia \mathbb{R}_{\ne 0} z działaniami dodawania i mnożenia, gdyż funkcja ta nie zachowuje dodawania:  |z_1 + z_2|\ne|z_1|+|z_2| .

Homomorfizm f z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, *, 1), taki że: f(n) = 2n. Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

Homomorfizm monoidów[edytuj | edytuj kod]

1) Niech  f będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), takim że f(n) = 2^n.

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

f(n+m)=f(n) * f(m) oraz f(0)=1

tzn.

2^{n+m}=2^{n} *2^{m} oraz 2^0=1

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

2) Niech \mathrm G\, oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania +\,, a \mathrm H\, oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza f(n) = \exp(n). Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Rodzaje homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm, który jest:

Ogólna definicja homomorfizmu[edytuj | edytuj kod]

Niech:

\mathcal A = (A; g_1, \dots, g_n) i \mathcal B = (B; h_1, \dots, h_n)

oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie, itp.), gdzie

  • A, B - dane zbiory,
  • g_1, \cdots,g_n - działania zdefiniowane na elementach zbioru A, (np. +, *, potęgowanie, itp.)
  • h_1, \cdots, h_n - działania zdefiniowane na elementach zbioru B, odpowiadające działaniom w zbiorze A,
  • a(i)\, - liczby argumentów działań g_i\, oraz h_i\,, i = 1, \dots, n (liczby argumentów czyli argumentowość odpowiadających sobie działań z obu zbiorów są równe, ponieważ założyliśmy, że algebry \mathcal A i \mathcal B są tego samego typu).

Wtedy funkcja f\colon A \to B przekształcającą zbiór A\, w zbiór B\, jest homomorfizmem algebry \mathcal Aw algebrę \mathcal B, jeśli dla każdych odpowiadających sobie działań g_i\, oraz h_i , i = 1, \dots, n oraz ciągu (x_1, x_2, \dots, x_{a(i)}) elementów zbioru A\, zachodzi równość:

  • f[g_i(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})] = h_i[(f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_{a(i)})]

co oznacza to, że f\, przeprowadza każde działanie g_i w odpowiadające mu działanie h_i\,.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2004, str.1-27.