Homomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizmfunkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr ogólnych. Słowo homeomorphism pochodzi od słów antycznego języka greckiego ὅμοιος (homoios) = podobny i μορφή (morphē) = kształt, forma.

Homeomorfizm między grupami[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathrm G = (G, +, 0)\, oraz \mathrm H = (H, \oplus, \theta) oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie f\, nazywamy homomorfizmem grupy \mathrm G\, w grupę \mathrm H jeżeli spełnione są warunki:

a) f: G\to H

oraz

b) \forall_{a,\; b \in G}\; f(a + b) = f(a) \oplus f(b) \in H

tzn. f\, jest funkcją ze zbioru elementów G w zbiór elementów H oraz wynik działania + wykonanego na wszystkich parach elementów a, bzbioru G jest równy wynikowi działania \oplus wykonanego na elementach wszystkich parach f(a) , f(b).

Mówimy, że homeomorfizm przeprowadza działanie grupowe +\, na działanie \oplus.

Twierdzenie:[edytuj | edytuj kod]

Tw. Jeżeli f\, jest homeomorfizmem f: G\to H, to

a) przekształca element neutralny działania + w \mathrm G\, na element neutralny działania \oplus w \mathrm H\,, tzn.

f(0) = \theta.

b) przekształca element odwrotny działania + w \mathrm G\, na element neutralny działania \oplus w \mathrm H\,, tzn.

\forall_{a \in G}\; f(-a) = -f(a),

gdzie -a oznacza element przeciwny do elemetu a w \mathrm G\,, zaś -f(a) oznacza element przeciwny do f(-a) w \mathrm H\,.

Definicja homeomorfizmu ogólna[edytuj | edytuj kod]

Niech:

  • \mathcal A = (A, g_1, \dots, g_n) i \mathcal B = (B, h_1, \dots, h_n)

będą algebrami ogólnymi tego samego typu (grupami, pierścieniami, monoidami, itp.), gdzie

A, B - dane zbiory,

g_1, \cdots,g_n - działania zdefiniowane na elementach zbioru A,

h_1, \cdots, h_n - działania zdefiniowane na elementach zbioru B,

  • f\colon A \to B będzie funkcją przekształcającą zbiór A\, w zbiór B\,,
  • a(i)\, niech będzie liczbą argumentów działań g_i\, oraz h_i\,, i = 1, \dots, n

(liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry \mathcal A i \mathcal B mają ten sam typ; liczba argumentów funkcji nazywana jest argumentowością).

Wtedy f\, jest homomorfizmem algebry \mathcal A w algebrę \mathcal B, jeśli dla każdych odpowiadających sobie działań g_i\, oraz h_i , i = 1, \dots, n oraz ciągu (x_1, x_2, \dots, x_{a(i)}) elementów zbioru A\, zachodzi równość:

f\left(g_i(x_1, x_2, \dots, x_{a(i)})\right) = h_i\left(f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_{a(i)})\right).

Oznacza to, że dla każdego i = 1, \dots, n odwzorowanie f\, przeprowadza operację g_i\, w operację h_i\,.

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, np.:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Homeomorfizm pierścieni: Liczby rzeczywiste tworzą pierścień, mający dwa działania - dodawanie i mnożenie. Zbiór macierzy 2x2 także jest pierścieniem, z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy. Możemy zdefiniować funkcję między tymi pierścieniami

f(r) = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix}, r\in \mathbb{R};

funkcja f jest homomorfizmem, gdyż zachowuje zarówno dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

f(r+s) = \begin{pmatrix}
  r+s & 0 \\
   0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)

jak i mnożenie

f(r\cdot s) = \begin{pmatrix}
  r\cdot s & 0 \\
   0 & r\cdot s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\cdot f(s).

przy czym elementami neutralnymi dodawania i mnożenia w grupie macierzy są odpowiednio  \begin{pmatrix}
   0& 0 \\
   0 & 0
\end{pmatrix} i  \begin{pmatrix}
   1& 0 \\
   0 & 1
\end{pmatrix} .

  • Homeomorfizm grup: Zbiór niezerowych liczb zespolonych \mathbb{C}_{\ne 0} tworzy grupę z operacjami mnożenia, podobnie jak zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{R}_{\ne 0} (zero musi być wyłączone z obu grup ponieważ mie ma elementu odwrotnego do zera w operacji mnożenia, co jest konieczną własnością dla elementów grupy). Zdefiniujmy funkcję f: \mathbb{C}_{\ne 0}\to\mathbb{R}_{\ne 0} która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł

f(z)=|z|

Funkcja ta jest homeomorfizmem z \mathbb{C}_{\ne 0} do \mathbb{R}_{\ne 0} , gdyż odtwarza działanie mnożenia w \mathbb{R}_{\ne 0}

f(z_1\cdot z_2) = |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot|z_2| = f(z_1) \cdot f(z_2)

Zauważ, że funkcja f nie może być rozszerzona jako homeomorfizm pierścieni \mathbb{C}_{\ne 0} do \mathbb{R}_{\ne 0} , gdyż nie zachowuje dodawania:  |z_1 + z_2|\ne|z_1|+|z_2| .

Monoid homomorphism f z momoidu (N, +, 0)(zielony kolor) do monoidu (N, ×, 1) (czerwony kolor), zdefiniowany jako f(x) = 2x. Homeomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.
  • Homeomorfizm monoidów: Rysunek obok przedstawia homeomorfizm  f z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, x, 1) taki że:

Homomorfizm f z monoidu (N, +, 0)  do monoidu (N, ×, 1), zdefiniowany jako f(x) = 2x. Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny. Funkcja f jest taka, że:

f(x + y) = f(x) × f(y) oraz f(0) = 1

Rodzaje homomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm, który jest:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]