Homomorfizm grup

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Homomorfizm grupprzekształcenie zachowujące strukturę grup, tj. homomorfizm grup jako struktur algebraicznych. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy grup są klasy morfizmami kategorii grup, z tego też względu nazywane są one czasem morfizmami grup.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (G, · ) i (H, • ) będą grupami. Przekształcenie

\varphi\colon G \to H

nazywane jest homomorfizmem grupy G w grupę H, gdy dla wszelkich x, yG spełnione jest równanie

\varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \bullet \varphi(y).

Homomorfizmy ogólnych struktur algebraicznych z określenia zachowują element neutralny działania (o ile ten istnieje); zdefiniowane wyżej homomorfizmy grup mają tę własność, a więc są one homomorfizmami z punktu widzenia algebry uniwersalnej. Istotnie, jeżeli (G, · ) i (H, • ) są grupami z elementami neutralnymi, odpowiednio, e i ι oraz φ: GH jest homomorfizmem, to

\varphi(e) = \varphi(e \cdot e) = \varphi(e) \bullet \varphi(e),

a więc

\iota = \varphi(e).

Homomorfizm grupy abelowej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywany jest charakterem grupy.

Jądro i obraz homomorfizmu[edytuj | edytuj kod]

Jądrem homomorfizmu φ: GH nazywa się zbiór

\ker \varphi = \{x \in G\colon \varphi(x) = \iota\} = \varphi^{-1}(\{\iota\}),

gdzie ι jest elementem neutralnym grupy H.

Obrazem homomorfizmu φ: GH nazywa się zbiór

\operatorname{im}\;\varphi = \{y \in H\colon (\exists{x \in G})(\varphi(x) = y)\}.

Obraz jest podgrupą grupy H, z kolei jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną (a nawet charakterystyczną) grupy G. Z drugiej strony, każda podgrupa normalna danej grupy jest jądem pewnego homomorfizmu. W szczególności, centralizator i normalizator są jądrami pewnych działań grupy na zbiorze swoich elementów (wspomniane działania również są homomorfizmami).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech (\mathbb R^\ast, \cdot) oznacza grupę niezerowych liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia.

  • Odwzorowanie |\cdot|\colon \mathbb R^\ast \to \mathbb R^\ast przypisujące każdej liczbie tego zbioru jej wartość bezwzględną jest homomorfizmem.
  • Przekształcenie φ(x) = x2 również jest homomorfizmem grupy \mathbb R^\ast w siebie.

Jądrem obu tych homomorfizmów jest podgrupa {-1. 1}.

Rodzaje[edytuj | edytuj kod]

Monomorfizm (zanurzenie) 
homomorfizm iniektywny (różnowartościowy).
Epimorfizm 
homomorfizm suriektywny („na”).
Izomorfizm 
homomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem, inaczej: wzajemnie jednoznaczny homomorfizm.
Endomorfizm 
homomorfizm grupy w siebie.
Automorfizm 
endomorfizm będący zarazem izomorfizmem, inaczej: wzajemnie jednoznaczny homomorfizm grupy na siebie.

Homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądro jest trywialne. Należy pamiętać, że homomorfizm odwrotny \varphi^{-1} do izomorfizmu \varphi również jest również izomorfizmem. Automorfizmy danej grupy G ze składaniem oraz identycznością tworzą grupę automorfizmów \operatorname{Aut}\;G

Jeżeli istnieje izomorfizm między grupami G i H, to nazywa się je izomorficznymi i oznacza G \simeq H. Relacja izomorficzności jest relacją równoważności. Wyróżnia się również tzw. G-izomorficzność zbiorów, która zachodzi, jeśli grupa G działa na tych zbiorach w taki sam sposób.

Homomorfizm kanoniczny[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz więcej w artykule grupa ilorazowa, w sekcji Epimorfizm kanoniczny.

Homomorfizmy grup abelowych[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli G\; oraz H\;grupami abelowymi (tzn. przemiennymi), to klasa \operatorname{Hom}(G, H) wszystkich homomorfizmów grupowych z G\; w H\; sama jest grupą abelową: suma h + k\; dwóch homomorfizmów zdefiniowana jest wzorem

(h + k)(u) = h(u) + k(u)\; dla wszystkich u \in G\;,

i jest ona działaniem przemiennym i łącznym, bo te własności ma działanie w grupie H\;.

Elementem neutralnym w \operatorname{Hom}(G, H)\; jest homomorfizm zerowy 0_{GH} \in \operatorname{Hom}(G, H):

0_{GH} (u) = 0\; dla każdego u \in G.

Dla każdego h \in \operatorname{Hom}(G, H) element -h \in \operatorname{Hom}(G, H) jest elementem przeciwnym do h\;:

h + (-h) = 0_{GH}\;.

Dodawanie homomorfizmów jest zgodne ze złożeniem homomorfizmów w następującym sensie: jeżeli f należy do \operatorname{Hom}(K, G), h, k są elementami \operatorname{Hom}(G, H), a g leży w \operatorname{Hom}(H, L), to

(h + k) \circ f  = (h \circ f) + (k \circ f) oraz g \circ (h + k) = (g \circ h) + (g \circ k).

Z powyższych własności wynika, że kategoria wszystkich grup abelowych z homomorfizmami grupowymi tworzy kategorię preaddytywną[1].

Istnienie sum prostych grup abelowych oraz jąder i kojąder homomorfizmów grup abelowych oznacza, że kategoria Ab grup abelowych jest kategorią abelową[2].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. W monografii Semadeniego i Wiwegera taką kategorię nazywa się kategorią addytywną, op. cit., ss. 251-252
  2. Semadeni, Wiweger, op. cit., ss. 259-260

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Semadeni Z., Wiweger A.: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: 1978.