Homomorfizm grup

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizm grup – w teorii grup funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr[1][2].

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupę należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze[3]. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy[4] pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech \scriptstyle G, G' będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki[5]. Przekształcenie \scriptstyle \varphi\colon G \to G' nazywa się homomorfizmem grupy \scriptstyle G w grupę \scriptstyle G', jeżeli dla każdego \scriptstyle a, b \in G zachodzi

\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b).

Działanie homomorfizmu \scriptstyle \varphi na elemencie \scriptstyle a, zwyczajowo zapisywane \scriptstyle \varphi(a) lub po prostu \scriptstyle \varphi a, bywa w niektórych monografiach odwracane: \scriptstyle a\varphi; można również spotkać się z oznaczeniem \scriptstyle a^\varphi. Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się \scriptstyle (ab)\varphi = a\varphi \cdot b\varphi lub \scriptstyle ab^{\varphi} = a^\varphi \cdot b^\varphi, przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. \scriptstyle (a + b)\varphi = a\varphi + b\varphi zamiast \scriptstyle \varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)[6].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech \scriptstyle a \in G, wtedy zachodzą następujące własności:

  • zachowywanie elementu neutralnego[7],
    \varphi(1) = 1';
  • zachowywanie elementu odwrotnego[8]
    \varphi\left(a^{-1}\right) = \varphi(a)^{-1}.

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu[9][10][11],

\varphi\left(a^n\right) = \varphi(a)^n,

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność[12] (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange'a)

\mathrm{ord}(\varphi\scriptstyle(a)\displaystyle) \big| \mathrm{ord}(a).

Inne morfizmy[edytuj | edytuj kod]

Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm \scriptstyle \varphi\colon G \to G. Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm \scriptstyle \varphi\colon G \to G', dla którego istnieje homomorfizm odwrotny \scriptstyle \psi\colon G' \to G, czyli spełniający tożsamość \scriptstyle \psi \circ \varphi = \varphi \circ \psi = \imath, gdzie \scriptstyle \imath jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy[13], nazywa się izomorfizmem. Grupy \scriptstyle G, G' dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza \scriptstyle G \simeq G'; relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup[14]

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm \scriptstyle \varphi^{-1} odwrotny do izomorfizmu \scriptstyle \varphi również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy \scriptstyle G tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie \scriptstyle \circ, a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy \scriptstyle \imath.

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

Jądro i obraz[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: jądroobraz oraz przeciwobraz.

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu \scriptstyle \varphi definiuje się odpowiednio jako zbiory

\ker \varphi = \bigl\{a \in G\colon \varphi(x) = 1'\bigr\} = \varphi^{-1}\bigl[1'\bigr]

oraz

\mathrm{im}\;\varphi = \bigl\{\varphi(a) \in G'\colon a \in G\bigr\} = \varphi[G],

gdzie \scriptstyle \varphi[\ ] i \scriptstyle \varphi^{-1}[\ ] oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu \scriptstyle \varphi. Obraz \scriptstyle \mathrm{im}\;\varphi jest podgrupą w \scriptstyle G', a jądro \scriptstyle \ker \varphi jest podgrupą normalną[15] w \scriptstyle G; odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm \scriptstyle \varphi, który ma trywialne jądro, \scriptstyle \ker \varphi = \{1'\}; z kolei epimorfizm to homomorfizm \scriptstyle \varphi, którego obraz jest całą przeciwdziedziną, \scriptstyle \operatorname{im}\;\varphi = G'. Izomorfizm \scriptstyle \varphi definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

Faktoryzacja[edytuj | edytuj kod]

Podgrupa normalna \scriptstyle N wyznacza jednoznacznie podział \scriptstyle G na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową \scriptstyle G/N grupy \scriptstyle G przez \scriptstyle N; przekształcenie rzutowe \scriptstyle \pi\colon G \to G/N grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm \scriptstyle \psi\colon G/N \to G' spełniający \scriptstyle \psi \circ \pi = \varphi; z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między \scriptstyle G/N a \scriptstyle \mathrm{im}\;\varphi. Grupę \scriptstyle G/\ker \varphi nazywa się niekiedy koobrazem \scriptstyle \varphi, z kolei jeżeli \scriptstyle \mathrm{im}\;\varphi jest podgrupą normalną w \scriptstyle G', to \scriptstyle G'/\mathrm{im}\;\varphi nazywa się kojądrem \scriptstyle \varphi.

Działania[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \mathrm{Map}(G, G') oznacza zbiór wszystkich przekształceń \scriptstyle G \to G'. Dla dwóch przekształceń \scriptstyle \varphi, \psi \in \mathrm{Map}(G, G') można określić punktowo działanie ich dodawania \scriptstyle \varphi + \psi wzorem[16]

(\varphi + \psi)(a) = \varphi(a) \cdot \psi(a)

dla wszystkich \scriptstyle a \in G, które jest łączne (własność odziedziczona z grupy \scriptstyle G'). Homomorfizm zerowy \scriptstyle \theta \in \mathrm{Hom}(G, G') (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego \scriptstyle \varphi \in \mathrm{Hom}(G, G') istnieje element przeciwny \scriptstyle -\varphi \in \mathrm{Hom}(G, G') dany wzorem[17] \scriptstyle (-\varphi)(a) = \varphi(a)^{-1}[18]. Innymi słowy \scriptstyle \mathrm{Map}(G, G') tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli \scriptstyle G' jest przemienna[19].

Niech \scriptstyle \mathrm{Map}(G) = \mathrm{Map}(G, G) oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy \scriptstyle G w siebie, wówczas \scriptstyle \mathrm{Sym}(G) oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje \scriptstyle G, czyli przekształcenia odwracalne należące do \scriptstyle \mathrm{Map}(G). Dodawanie przekształceń \scriptstyle G w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli \scriptstyle \varphi, \psi, \sigma \in \mathrm{Map}(G), to

(\varphi + \psi) \circ \sigma = \varphi \circ \sigma + \psi \circ \sigma,

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. \scriptstyle \sigma \circ (\varphi + \psi) = \sigma \circ \varphi + \sigma \circ \psi. Strukturę określoną na zbiór \scriptstyle \mathrm{Map}(G) z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego \scriptstyle \imath \in \mathrm{Map}(G).

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych \scriptstyle G \to G' będącą podzbiorem \scriptstyle \mathrm{Map}(G, G') oznacza się symbolem \scriptstyle \mathrm{Hom}(G, G'); z kolei zbiór \scriptstyle \mathrm{Hom}(G, G) endomorfizmów grupy \scriptstyle G oznacza się \scriptstyle \mathrm{End}(G). Ponieważ dla \scriptstyle \varphi, \psi \in \mathrm{End}(G) ich złożenie \scriptstyle \varphi \circ \psi \in \mathrm{End}(G), to \scriptstyle \mathrm{End}(G) jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) \scriptstyle \mathrm{Map}(G); mimo wszystko \scriptstyle \varphi + \psi nie musi należeć do \scriptstyle \mathrm{End}(G), jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach \scriptstyle \varphi, \psi mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element \scriptstyle \mathrm{im}\;\varphi jest przemienny z dowolnym elementem \scriptstyle \mathrm{im}\;\psi[20], co więcej \scriptstyle \varphi + \psi = \psi + \varphi[21].

Jeśli \scriptstyle \varphi, \psi \in \mathrm{Map}(G), zaś \scriptstyle \sigma \in \mathrm{End}(G), to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania[22],

\sigma \circ (\varphi + \psi) = \sigma \circ \varphi + \sigma \circ \psi.

Gdy \scriptstyle G jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że \scriptstyle \mathrm{End}(G) ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy \scriptstyle G. Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli \scriptstyle \imath + \imath \in \mathrm{End}(G), to z powyższego wynika, że \scriptstyle G jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli \scriptstyle \alpha \in \mathrm{Hom}(A, B) oraz \scriptstyle \beta, \gamma \in \mathrm{Hom}(B, C) i \scriptstyle \delta \in \mathrm{Hom}(C, D) są homomorfizmami grup abelowych \scriptstyle A, B, C, D, to \scriptstyle (\beta + \gamma) \circ \alpha  = \beta \circ \gamma + \gamma \circ \alpha oraz \scriptstyle \delta \circ (\beta + \gamma) = \delta \circ \beta + \delta \circ \gamma. Wynika stąd, że kategoria \scriptstyle \mathbf{Ab} wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną[23]; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to \scriptstyle \mathbf{Ab} jest kategorią abelową[24]; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

Niezmienniczość[edytuj | edytuj kod]

Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w \scriptstyle \mathrm{End}(G) nazywa się grupą automorfizmów \scriptstyle \mathrm{Aut}(G) grupy \scriptstyle G[25]. Przekształcenie \scriptstyle \varphi\colon G \to \mathrm{Aut}(G) grupy \scriptstyle G w grupę jej automorfizmów dane wzorem \scriptstyle \varphi(a) = \varphi_a, gdzie automorfizm \scriptstyle \varphi_a jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. \scriptstyle \varphi_a(g) = aga^{-1} dla dowolnego \scriptstyle g \in G, jest homomorfizmem grup, ponieważ[26]

\varphi(ab) = \varphi_{ab} = \varphi_a \circ \varphi_b = \varphi(a) \circ \varphi(b).

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

\ker \varphi = \bigl\{a \in G\colon \varphi(a) = \imath\bigr\} = \bigl\{a \in G\colon \varphi_a(g) = aga^{-1} = g \mbox{ dla } g \in G\bigr\}

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum \scriptstyle \mathrm Z(G) = \{a \in G\colon ag = ga \mathrm{\ dla\ } g \in G\} grupy \scriptstyle G; obrazem jest z kolei

\mathrm{im}\; \varphi = \bigl\{\varphi(a) \in G'\colon a \in G\bigr\} = \bigl\{\varphi_a \in G'\colon \varphi_a(g) = aga^{-1} \mbox{ dla } a, g \in G\bigr\},

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych \scriptstyle \mathrm{Inn}(G); automorfizmy te tworzą podgrupę w \scriptstyle \mathrm{Aut}(G), która jest normalna (zob. lemat Goursata) – grupę ilorazową \scriptstyle \mathrm{Out}(G) = \mathrm{Aut}(G) / \mathrm{Inn}(G) nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo, że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę \scriptstyle H grupy \scriptstyle G nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli \scriptstyle \varphi(H) jest podgrupą w \scriptstyle H dla dowolnego \scriptstyle \varphi \in \mathrm{End}(G); jeżeli \scriptstyle H spełnia ten sam warunek dla dowolnego \scriptstyle \varphi \in \mathrm{Aut}(G), to nazywa się ją charakterystyczną[27], jeśli dla \scriptstyle H zachodzi \scriptstyle \varphi \in \mathrm{Inn}(G), to jest ona normalna[28]. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm \scriptstyle \theta\colon G \to G' dany wzorem \scriptstyle \theta(a) = 1' dla dowolnego \scriptstyle a \in G nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w \scriptstyle G'; odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy \scriptstyle G jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, co wynika z zachowania potęgowania): dowolny element \scriptstyle a \ne 1 rzędu większego niż \scriptstyle 1 jest przekształcany przez \scriptstyle \theta na element \scriptstyle 1' rzędu \scriptstyle 1. Homomorfizm \scriptstyle \imath\colon G \to G zdefiniowany jako \scriptstyle \theta(a) = a dla każdego \scriptstyle a \in G jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy \scriptstyle G, który nazywany jest identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie \scriptstyle G rzędu większego niż \scriptstyle 2 istnieje różny od \scriptstyle \imath automorfizm: jeśli \scriptstyle G jest przemienna (abelowa), to jest nim \scriptstyle \jmath\colon a \mapsto a^{-1} dla \scriptstyle a \in G[29], w grupie nieprzemiennej można wybrać element \scriptstyle a \in \mathrm Z(G) należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny \scriptstyle \varphi_a jest nietrywialny.

Niech \scriptstyle \mathbb R^\times będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej \scriptstyle |\ |\colon \mathbb R^\times \to \mathbb R^\times przypisujące \scriptstyle r \mapsto |r| jest endomorfizmem, którego obraz \scriptstyle \mathbb R_+ jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie \scriptstyle x \mapsto x^2 również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa \scriptstyle \{-1, 1\} (izomorficzna z \scriptstyle \mathbb Z_2 = \{0, 1\} z działaniem dodawania modulo \scriptstyle 2, braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza \scriptstyle \exp\colon \mathbb R^+ \to \mathbb R^\times jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, gdyż \scriptstyle \exp(a + b) = \exp(a) \exp(b), którego jądrem jest zbiór \scriptstyle \{1\}, a obrazem jest zbiór \scriptstyle \mathbb R_+ dodatnich liczb rzeczywistych (\scriptstyle \exp jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm \scriptstyle \exp\colon R^+ \to R^\times_+ w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja \scriptstyle f\colon \mathbb R^+ \to \mathrm S^1 dana wzorem \scriptstyle t \mapsto e^{2\pi it} jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu)[30], którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego, \scriptstyle \mathrm{Aut}(V_4) \simeq S_3. Grupa \scriptstyle V_4 jest jedyną grupą \scriptstyle G rzędu większego niż \scriptstyle 3, dla której \scriptstyle \mathrm{Aut}(G) składa się ze wszystkich bijekcji \scriptstyle \varphi_1\colon G \to G zachowujących jedynkę grupy[31]. Pierścień \scriptstyle \mathrm{End}(V_4) grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem \scriptstyle \mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb Z_2) macierzy typu \scriptstyle 2 \times 2 nad \scriptstyle \mathbb Z_2 \simeq \mathbb Z/2\mathbb Z.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Semadeni Z., Wiweger A.: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: 1978.

Przypisy

  1. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy są elementami klasy morfizmów kategorii grup \scriptstyle \mathbf{Gr}, dlatego nazywa się je czasami morfizmami grup.
  2. Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były dodatkowo ciągłe, czyli zachowywały określoną na nich strukturę topologiczną.
  3. Dla grupy \scriptstyle G są to odpowiednio homomorfizmy \scriptstyle G \to \mathrm{Aut}(G), \scriptstyle G \to \mathrm{Sym}(G) oraz \scriptstyle G \to \mathrm{Sym}(X) dla pewnego zbioru \scriptstyle X (zob. Działania). Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru \scriptstyle \Omega i grupy \scriptstyle G jako homomorfizm \scriptstyle \Omega \to \mathrm{End}(G) (zob. Niezmienniczość).
  4. Mają one postać \scriptstyle G \to \mathrm{Aut}(G') dla grup \scriptstyle G, G'.
  5. Zwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w teorii grup abelowych (przemiennych).
  6. Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją złożenia funkcji odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli \scriptstyle (\varphi \circ \psi)(a) = \psi\big(\varphi(a)\big); wtedy \scriptstyle a\varphi\psi oznacza \scriptstyle a(\varphi \circ \psi) = \big((a)\varphi\big)\psi. W tym artykule \scriptstyle \varphi \circ \psi oznacza przyłożenie funkcji \scriptstyle \psi, a następnie \scriptstyle \varphi, czyli \scriptstyle (\varphi \circ \psi)(a) = \varphi\big(\psi(a)\big).
  7. Własność wynika z równości \scriptstyle \varphi(1) = \varphi(1 \cdot 1) = \varphi(1) \cdot \varphi(1) (pierwsza kropka oznacza działanie w \scriptstyle G), do obu strony której przyłożono element odwrotny do \scriptstyle \varphi(1).
  8. Kolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest \scriptstyle 1' = \varphi(1) = \varphi\left(aa^{-1}\right) = \varphi(a) \cdot \varphi\left(a^{-1}\right), co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do \scriptstyle \varphi(a) daje żądaną własność.</math>
  9. Dowodząc indukcyjnie: przypadek \scriptstyle n = 1 jest trywialny; jeżeli \scriptstyle \varphi\left(a^{n-1}\right) = \varphi(a)^{n-1}, to \scriptstyle \varphi\left(a^n\right) = \varphi\left(a^{n-1} a\right) = \varphi\left(a^{n-1}\right) \cdot \varphi(a) = \varphi(a)^{n-1} \cdot \varphi(a) = \varphi(a)^n.
  10. W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że \scriptstyle n \in \mathbb Z.
  11. W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu: \scriptstyle \varphi(na) = n\varphi(a) dla \scriptstyle n \in \mathbb Z, co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako \scriptstyle \mathbb Z-modułów.
  12. Jeżeli \scriptstyle \mathrm{ord}(a) = n, to \scriptstyle n jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą \scriptstyle a^n = 1, zatem na mocy powyższej własności \scriptstyle \varphi(a)^n = \varphi\left(a^n\right) = \varphi(1) = 1', co daje tylko podzielność \scriptstyle \mathrm{ord}\big(\varphi(a)\big) przez \scriptstyle n.
  13. Innymi słowy dla dowolnego \scriptstyle a \in G musi zachodzić \scriptstyle \psi\big(\varphi(a)\big) = a oraz dla dowolnego \scriptstyle a' \in G' musi zachodzić \scriptstyle \varphi\big(\psi(a')\big) = a'.
  14. Wyróżnia się również tzw. \scriptstyle G-izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa \scriptstyle G działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
  15. Jądro jest w istocie podgrupą charakterystyczną.
  16. Poniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej: \scriptstyle a^{\varphi + \psi} = a^\varphi \cdot a^\psi.
  17. W notacji potęgowej: \scriptstyle a^{-\varphi} = (a^\varphi)^{-1}.
  18. Tzn. spełnia on \scriptstyle \varphi + (-\varphi) = \theta, tj. \scriptstyle \big(\varphi + (-\varphi)\big)(a) = \varphi(a) \cdot (-\varphi)(a) = 1', skąd \scriptstyle (-\varphi)(a) = \varphi(a)^{-1} dla każdego \scriptstyle a \in G.
  19. W notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne: \scriptstyle (\varphi + \psi)(a) = \varphi(a) + \psi(a), czy \scriptstyle (-\varphi)(a) = -\varphi(a) dla \scriptstyle a \in G.
  20. Równanie \scriptstyle (\varphi + \psi)(a + b) = (\varphi + \psi)(a) \cdot (\varphi + \psi)(b) jest równoważne \scriptstyle \varphi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) \cdot \varphi(b).
  21. Podstawiając \scriptstyle a = b w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się \scriptstyle (\varphi + \psi)(a) = \varphi(a) + \psi(a) = \varphi(a) \cdot \psi(a) = \psi(a) \cdot \varphi(a) = \psi(a) + \varphi(a) = (\psi + \varphi)(a) dla każdego \scriptstyle a \in G.
  22. Dla dowolnego \scriptstyle a \in G zachodzi \scriptstyle \big(\sigma \circ (\varphi + \psi)\big)(a) = \sigma\big((\varphi + \psi)(a)\big) = \sigma\big(\varphi(a) \cdot \psi(a)\big) = \sigma\big(\varphi(a)\big) \cdot \sigma\big(\psi(a)\big) = (\sigma \circ \varphi)(a) \cdot (\sigma \circ \psi)(a) = (\sigma \circ \varphi + \sigma \circ \psi)(a), przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż \scriptstyle \sigma \in \mathrm{End}(G).
  23. W starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; ss. 251-252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.
  24. (Semadeni i Wiweger, 1978; ss. 259-260).
  25. Elementem odwrotnym do \scriptstyle \varphi\psi \in \mathrm{Aut}(G) jest \scriptstyle \psi^{-1} \varphi^{-1}.
  26. Pierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji \scriptstyle \varphi, druga jest prawdziwa na mocy równości \scriptstyle \varphi_{ab}(g) = (ab)g(ab)^{-1} = a \left(bgb^{-1}\right) a^{-1} = \varphi_a\big(\varphi_b(g)\big) = (\varphi_a \circ \varphi_b)(g) dla dowolnego \scriptstyle g \in G (dowód drugiej równości, zob. grupa).
  27. W istocie jeżeli \scriptstyle H jest charakterystyczna w \scriptstyle G, to \scriptstyle \varphi(H) musi być równa \scriptstyle H, gdyż \scriptstyle \varphi(H) jak i \scriptstyle \varphi^{-1}(H) muszą być podgrupami \scriptstyle H, przy czym drugi warunek oznacza, że \scriptstyle H jest podgrupą \scriptstyle \varphi(H).
  28. Podobnie jak w poprzednim przypadku musi być \scriptstyle \varphi_a(H) = H dla dowolnego automorfizmu wewnętrznego \scriptstyle \varphi_a wyznaczanego przez \scriptstyle a \in G.
  29. Ponieważ homomorfizmy zachowują jedynkę grupy, to w grupie rzędu \scriptstyle 1, czyli trywialnej jedynym automorfizmem jest tożsamość; w grupie rzędu \scriptstyle 2 oprócz jedynki przekształcanej na siebie automorfizm musi odwzorowywać pozostały element również na siebie).
  30. W gruncie rzeczy wszystkie homomorfizmy grup addytywnych w multiplikatywne danych ciał są funkcjami wykładniczymi, jednak są one interesujące również z tego względu, iż są rozwiązaniami równań różniczkowych, np. funkcja \scriptstyle f jest rozwiązaniem równania \scriptstyle f' = 2\pi i f. Zależności między tymi własnościami bada się w topologii algebraicznej rozważając tzw. grupy Liego (grup z działaniami ciągłymi na przestrzeniach topologicznych); wówczas powyższe dwie grupy są grupami topologicznymi, homomorfizm \scriptstyle f jest ciągły, czyli jest również homomorfizmem grup topologicznych (a więc homomorfizmem grup Liego). W ten sposób badanie homomorfizmów grup topologicznych ma bliski związek z rozwiązywaniem równań różniczkowych.
  31. Jeżeli \scriptstyle G ma rząd większy niż \scriptstyle 4, zaś \scriptstyle a, b, ab, c są różnymi jej elementami \scriptstyle G^* = G \smallsetminus \{1\}, to istnieje bijekcja zbioru \scriptstyle G^*, dla której \scriptstyle a \mapsto a, \scriptstyle b \mapsto b, \scriptstyle ab \mapsto c; nie może być ona zawężeniem do \scriptstyle G^* żadnego automorfizmu \scriptstyle G. Jeżeli \scriptstyle G \not\simeq V_4 jest rzędu \scriptstyle 4, to \scriptstyle G \simeq \mathbb Z_4 jest cykliczna i ma dwuelementową grupę automorfizmów.