Homomorfizm pierścieni

Homomorfizm pierścieni to, nieformalnie, przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Niech $(R, +, \cdot)$ oraz $(S, \oplus, \odot)$ będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni $R$ i $S$ nazywamy dowolne odwzorowanie $h\colon R \to S$ takie, że

• $h(a + b) = h(a) \oplus h(b)$ oraz
• $h(a \cdot b) = h(a) \odot h(b)$.

Obraz

Obrazem homomorfizmu $h$ nazywamy zbiór

$\operatorname{Im}(h) = \{a \in S: \exists_{b \in R}\; a = h(b)\}$,

czyli zbiór takich elementów $S$, które są wartościami odwzorowania $h$ na co najmniej jednym elemencie zbioru $R$.

Obraz homomorfizmu $h$ jest podpierścieniem pierścienia $S$.

Jądro

Jądrem homomorfizmu $h$ nazywamy zbiór

$\ker h = \{a \in R: h(a) = 0_S\}$,

gdzie $0_S$ oznacza zero pierścienia $S$.

Jądro homomorfizmu $h$ jest ideałem pierścienia $R$.

Monomorfizm

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm $h\colon R \to S$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker h = \{0_R\}$, gdzie $0_R$ oznacza zero pierścienia $R$.

Epimorfizm

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu "na".

Homomorfizm $h\colon R \to S$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{Im}(h) = S$.

Izomorfizm

Homomorfizm $h\colon R \to S$ nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy $h$ jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie $h^{-1}$ istnieje (ponieważ $h$ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie $R$ i $S$ są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $h\colon R \to S$ (równoważnie: izomorfizm $g\colon S \to R$) i oznaczamy $R \simeq S$. W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności $\simeq$ jest relacją równoważności.

Homomorfizm kanoniczny

Niech $R$ będzie dowolnym pierścieniem, zaś $I\subseteq R$ dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie $h\colon R \to R/I$ określone $h(a) = [a]$ jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie $h$ nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia $R$ na pierścień ilorazowy $R/I$.

Twierdzenie o homomorfizmie

Jeśli $h\colon R \to S$ jest epimorfizmem pierścieni $R, S$, to $S$ jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym $R/\ker h$ (izomorfizmem jest odwzorowanie $g\colon R/\ker h \to S$ określone $g\left([a]\right) = h(a)$) oraz $h = g \circ f$, gdzie $f\colon R \to R/\ker h$ jest homomorfizmem kanonicznym.

Zobacz też

• morfizm
• homomorfizm
• monomorfizm
• epimorfizm
• izomorfizm
• automorfizm
• endomorfizm
• morfizmy grup