Homotopia

Homotopia – ciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Działem matematyki w którym się je rozważa jest teoria homotopii, gałąź topologii algebraicznej.

Pojęcie homotopii prowadzi do homotopijnej równoważności, relacji równoważności, która pozwala na bardziej elastyczną niż relacja homeomorfizmu klasyfikację przestrzeni topologicznych zachowując przy tym ważne ich własności w obrębie jednej klasy równoważności (klasy homotopii).

Homotopia między kubkiem a obwarzankiem (torusem).

Definicja

Niech $f, g\colon X \to Y$ będą przekształceniami ciągłymi określonymi na przestrzeniach topologicznych oraz $I = [0, 1] \subset \mathbb R$ będzie przedziałem jednostkowym. Jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie $H\colon X \times I \to Y$ takie, że $f(x) = H(x, 0)$ oraz $g(x) = H(x, 1)$ dla $x \in X$, to nazywa się je homotopią przekształceń $f$ i $g$ i oznacza $f \sim g$, same przekształcenia określa się wtedy jako homotopijne.

Rodziny przekształceń

Homotopia $H\colon X \times I \to Y$ określa rodzinę przekształceń $f_t\colon X \to Y$ taką, że $f_t(x) = H(x, t)$, ciągłą ze względu na każdy ze swoich argumentów, przy czym $f_0 = f$ oraz $f_1 = g$.

Homotopia $H$ wyznacza również rodzinę dróg $h_x\colon I \to Y,\; h_x(t) = H(x, t)$ łączących $f(x)$ z $g(x)$ dla $x \in X$.

Ściągalność i gwiaździstość

Przestrzeń $X$ nazywa się ściągalną, jeżeli $\operatorname{id}_X$ jest homotopijna z przekształceniem stałym $\varepsilon_a(x) = a$ dla pewnego punktu $a \in X$.

Dla podzbiorów przestrzeni euklidesowej, gdzie określona jest różniczkowalność można nakładać dodatkowe warunki na ściągalność zbioru. Obszar $D \subseteq \mathbb R^n$ nazywa się ściągalnym różniczkowalnie do punktu $x_0 \in D$, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe klasy $C^1$, $D \times [0,1]\ni (x,t) \mapsto h(x,t)\in D$ takie, że dla każdego $x \in D$

$h(x,0) = x_0,\; h(x, 1) = x$.

Obszar $D \subseteq \mathbb R^n$ określa się jako gwiaździsty względem punktu $x_0 \in D$, jeśli dla każdego $x \in D$ odcinek łączący punkt $x$ z $x_0$ zawiera się w $D$, tj. $\{y\colon y = x_0 + t(x - x_0), t \in [0,1]\} \subseteq D$.

Łatwo wykazać, że zbiór gwiaździsty względem punktu $x_0$ jest ściągalny do $x_0$. Żądane odwzorowanie $h$ jest postaci $h(x,t) := x_0 + t(x - x_0)$. Dla obszarów ściągalnych zachodzi lemat Poincarégo.

Relacja równoważności

Dla ustalonych przestrzeni topologicznych $X, Y$ relacja homotopii w przestrzeni funkcji ciągłych $C(X, Y)$ jest relacją równoważności. Jej klasy równoważności nazywa się klasami homotopii.

Zwrotność jest oczywista, symetria polega na odwróceniu przechodzenia po przedziale $I$, przechodniość wynika ze składania odwzorowań: pierwsza połowa $I$ służy do przejścia po pierwszym odwzorowaniu, druga – po drugim, złożenie odwzorowań ciągłych jest ciągłe.

Przykłady

• Jeśli $Y = \mathbb R^m$, to funkcje $f$ i $g$ są zawsze homotopijne między sobą. Wystarczy przyjąć $H(x,t) = f(x) + t\left(g(x) - f(x)\right)$.
• Jeśli $X = Y = \mathcal S^m$ – $m$-wymiarowa sfera jednostkowa, to powyższe nie jest prawdą. Na przykład, identyczność i funkcja stała nie są homotopijne.

Przedłużanie homotopii

Zachodzi następujące twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii, sformułowane przez Karola Borsuka w 1937:

Niech $X$ będzie przestrzenią normalną, a $M$ jej domkniętą podprzestrzenią. Jeśli $f, g\colon M \to \mathcal S^m$ są homotopijne oraz $f$ jest przedłużalne na $X$, to $g$ jest przedłużalne na $X$ oraz dla każdego przedłużenia $f$ można znaleźć przedłużenie $g$ z nim homotopijne.

Często, dla uproszczenia dowodu, zakłada się dodatkowo przeliczalną parazwartość przestrzeni $X$.

Homotopijna równoważność

Przestrzenie $X$ oraz $Y$ są homotopijnie równoważne lub mają ten sam typ homotopii, jeżeli istnieją przekształcenia ciągłe $f\colon X \to Y$ oraz $g\colon Y \to X$ takie, że $g \circ f \sim \operatorname{id}_X$ oraz $f \circ g \sim \operatorname{id}_Y$.

Homotopijna równoważność jest słabszą własnością klasyfikującą przestrzenie topologiczne niż homeomorficzność. Przestrzenie topologiczne o tym samym typie homotopii są nieodróżnialne na gruncie teorii homotopii i homologii. Przede wszystkim wszystkie grupy homotopii i homologii przestrzeni homotopijnie ze sobą równoważnych są izomorficzne.

Przykłady

• Przestrzeń ściągalna $X$ jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową $Y = \{a\}$, ponieważ $\operatorname{id}_Y \circ \varepsilon_a = \varepsilon_a \sim \operatorname{id}_X$ oraz $\varepsilon_a \circ \operatorname{id}_Y = \operatorname{id}_Y$ dla $\varepsilon_a(x) = a$ dla dowolnego $x \in X$.
• Zbiory $X = [0, 1]$ i $Y = (0, 1)$ z topologią euklidesową są homotopijnie równoważne, lecz nie są homeomorficzne (z powodu zwartości pierwszej przestrzeni i braku zwartości drugiej).
• Okrąg jednostkowy $\mathcal S^1$ jest homotopijnie równoważny z płaszczyzną bez punktu, $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$, te przestrzenie również nie są homeomorficzne z tego samego powodu (przy założeniu topologii euklidesowej).

Zobacz też

• droga
• grupa podstawowa

Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I: wykłady i zadania, skrypt 2005
• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
• Sur les prolongements des transformations continues (fr.) (fr. O przedłużeniach odwzorowań ciągłych) – publikacja K.Borsuka w Fundamenta Mathematicae, udostępniona przez Polską Bibliotekę Wirtualną Nauki