IFS (geometria fraktalna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Paproć Barnsleya wygenerowana za pomocą systemu IFS

IFS (z ang. iterated function system) zwany też systemem funkcji iterowanych, systemem iterowanych kontrakcji albo przekształceń zwężających to rodzina funkcji za pomocą których konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach kompresji danych, zwłaszcza graficznych (grafika fraktalna).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy dla pewnego ustalonego m\in \mathbb{N}, m>2, mamy rodzinę funkcji Fi, i=1,2,..m, określoną na pewnym podzbiorze X\subset \mathbb{R}^d. Załóżmy ponadto że każda funkcja jest kontrakcją o skali ri<1, tzn.

 |F_i(x) - F_i(y)| \le r_i|x-y|.

Istnieje wówczas dokładnie jeden niepusty zbiór zwarty K taki, że

 K=\bigcup_{i=1}^m F_i(K).

Zbiór ten nazywamy atraktorem danego IFS, często - choć nie zawsze - jest to interesujący fraktal. Powyższe zaś twierdzenie dostarczające metody konstrukcji fraktali określa się ogólnie jako IFS. W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji Fi.

Metoda iteracji[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie F, które dany zbiór A zmienia w sumę obrazów przez F_i, tzn.

 F(A) = \bigcup_{i=1}^m F_i(A),

to wówczas kolejne obrazy F(A), F(F(A)), F(F(F(A))... będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego zbioru początkowego A zaczniemy. Dokładniej,

F^k(A) \to K

w metryce Hausdorffa. Metryka ta jest zdefiniowana następująco. Dla dwu zbiorów A i B określamy

 d(A,B) = \mathrm{inf}\{ \delta: A\subset B_\delta \mathrm{ ~oraz~ } B\subset A_\delta\},

gdzie A_\delta, B_\delta oznaczają \delta-otoczki zbiorów (otoczki "grubości" \delta).

Własność ta jest podstawą wizualizacji fraktali otrzymywanych przez IFS.

Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że IFS spełnia warunek zbioru otwartego jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór U taki, że

\bigcup_{i=1}^m F_i(U) \subset U.

Jeżeli IFS spełnia warunek zbioru otwartego to wymiar Hausdorffa atraktora jest jedynym rozwiązaniem równania (z niewiadomą s)

 \sum_{i=1}^m r_i^s =1.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Paproć Barnsley'a w Math World (język angielski)