IFS (geometria fraktalna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Paproć Barnsleya wygenerowana za pomocą systemu IFS

IFS (z ang. iterated function system, zwany też systemem funkcji iterowanych, systemem iterowanych kontrakcji albo przekształceń zwężających) – rodzina funkcji za pomocą których konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach kompresji danych, zwłaszcza graficznych (grafika fraktalna).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy dla pewnego ustalonego m\in \mathbb{N}, m>2, mamy rodzinę funkcji Fi, i=1,2,..m, określoną na pewnym podzbiorze X\subset \mathbb{R}^d. Załóżmy ponadto że każda funkcja jest kontrakcją o skali ri<1, tzn.

 |F_i(x) - F_i(y)| \le r_i|x-y|.

Istnieje wówczas dokładnie jeden niepusty zbiór zwarty K taki, że

 K=\bigcup_{i=1}^m F_i(K).

Zbiór ten nazywamy atraktorem danego IFS, często - choć nie zawsze - jest to interesujący fraktal. Powyższe zaś twierdzenie dostarczające metody konstrukcji fraktali określa się ogólnie jako IFS. W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji Fi.

Metoda iteracji[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie F, które dany zbiór A zmienia w sumę obrazów przez F_i, tzn.

 F(A) = \bigcup_{i=1}^m F_i(A),

to wówczas kolejne obrazy F(A), F(F(A)), F(F(F(A))... będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego zbioru początkowego A zaczniemy. Dokładniej,

F^k(A) \to K

w metryce Hausdorffa. Metryka ta jest zdefiniowana następująco. Dla dwu zbiorów A i B określamy

 d(A,B) = \mathrm{inf}\{ \delta: A\subset B_\delta \mathrm{ ~oraz~ } B\subset A_\delta\},

gdzie A_\delta, B_\delta oznaczają \delta-otoczki zbiorów (otoczki "grubości" \delta).

Własność ta jest podstawą wizualizacji fraktali otrzymywanych przez IFS.

Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że IFS spełnia warunek zbioru otwartego jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór U taki, że

\bigcup_{i=1}^m F_i(U) \subset U.

Jeżeli IFS spełnia warunek zbioru otwartego to wymiar Hausdorffa atraktora jest jedynym rozwiązaniem równania (z niewiadomą s)

 \sum_{i=1}^m r_i^s =1.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]