Ideał (teoria mnogości)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ideał – w teorii porządków częściowych, teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki pojęcie dualne do pojęcia filtru.

Intuicje[edytuj | edytuj kod]

Najogólniejsza definicja ideału jest formułowana dla częściowych porządków, ale jej specjalny przypadek ideału podzbiorów danego zbioru jest najlepszym źródłem intuicji. W tym ograniczonym kontekście, ideał to rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Wydaje się naturalnym, że pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:

  • zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały,
  • zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała,
  • suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Ideały w porządkach[edytuj | edytuj kod]

Niech (P,\leqslant) będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór I\subseteq P jest ideałem w zbiorze uporządkowanym P jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) I\neq \varnothing,
(ii) jeśli p,q\in P, p\leqslant q oraz q\in I, to również p\in I,
(iii) jeśli p,q\in I, to można znaleźć r\in I taki że p\leqslant r oraz q\leqslant r.

Ideał I jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) I\neq P.

Ideały w algebrach Boole'a[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ algebra Boole'a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole'a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole'owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech ({\mathbb B},+,\cdot,\sim,{\bold 0},{\bold 1}) będzie algebrą Boole'a. Powiemy, że zbiór I jest ideałem w algebrze Boole'a {\mathbb B} jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) {\bold 0}\in I,
(ii) jeśli a,b\in {\mathbb B}, a\leqslant b (tzn a\cdot b=a) oraz b\in I, to również a\in I,
(iii) jeśli a,b\in I, to a+b\in I.

Ideał I jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) {\bold 1}\notin I.

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Ideały podzbiorów danego zbioru[edytuj | edytuj kod]

Szczególnym przypadkiem algebry Boole'a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru S (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole'a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru S. Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów S.

Niech S będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina I podzbiorów zbioru S jest ideałem podzbiorów zbioru S jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) \varnothing\in I,
(ii) jeśli A\subseteq B\subseteq S i B\in I, to również A\in I,
(iii) jeśli A,B\in I, to A\cup B\in I.

Ideał I jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) S\notin I.

Ideały maksymalne[edytuj | edytuj kod]

Ideał właściwy I w porządku częściowym (P,\leqslant) jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym I jest samo I.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Ideały w algebrach Boole'a[edytuj | edytuj kod]

  • Niech {\mathcal K}_{\mathcal B} będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii. Wówczas {\mathcal K}_{\mathcal B} jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Niech {\mathcal L}_{\mathcal B} będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue'a. Wówczas {\mathcal L}_{\mathcal B} jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że F jest filtem w algebrze Boole'a {\mathbb B}. Niech F^c=\{\sim a:a\in F\}. Wówczas F^c jest ideałem w {\mathbb B}. Warto zauważyć, że F^c jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy F jest ulltrafiltrem.

Ideały podzbiorów danego zbioru[edytuj | edytuj kod]

  • Niech S będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina [S]^{<\omega} wszystkich skończonych podzbiorów S jest ideałem podzbiorów S. Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
  • Niech A\subsetneq X. Wówczas rodzina I_A wszystkich podzbiorów zbioru A jest ideałem podzbiorów X. Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
  • Niech {\mathcal K} będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a {\mathcal L} będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue'a zero. Wówczas zarówno {\mathcal K} jak i {\mathcal L} są ideałami podzbiorów prostej.
  • Przypuśćmy, że (X,\tau) jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni X tworzy właściwy ideał podzbiorów X.
  • Niech \kappa będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech {\mathcal NS}_\kappa będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów \kappa, których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór \kappa. Rodzina {\mathcal NS}_\kappa jest ideałem podzbiorów \kappa - zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami \kappa.

Dodatkowe pojęcia[edytuj | edytuj kod]

  • Niech \kappa będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał I podzbiorów zbioru S jest \kappa-zupełny, jeśli suma mniej niż \kappa zbiorów z ideału I należy do I.
  • Ideały \aleph_1-zupełne na S są nazywane \sigma-ideałami podzbiorów S. Tak więc \sigma-ideał podzbiorów S, to taki ideał I podzbiorów S, który spełnia następujący warunek:
(iii)σ jeśli A_0,A_1,A_2,\ldots\in I, to \bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n\in I.
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech I będzie takim ideałem podzbiorów zbioru S, który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:
{\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\},
{\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=S\big\},
{\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge\ A\notin I\big\},
{\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.

Własności i i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy właściwy ideał w algebrze Boole'a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
  • Jeśli I jest ideałem podzbiorów S który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to
{\rm add}(I)\leqslant {\rm cov}(I)\leqslant {\rm cof}(I) i {\rm add}(I)\leqslant {\rm non}(I)\leqslant {\rm cof}(I).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]