Ideał pierwszy (teoria pierścieni)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia teorii pierścieni. Zobacz też: ideał pierwszy w teorii mnogości.

Ideał pierwszy – w teorii pierścieni taki ideał właściwy pierścienia przemiennego z jedynką, dla którego z należenia do niego iloczynu dwóch danych elementów pierścienia wynika przynależność do niego choć jednego czynników, tzn. ideał I pierścienia R nazywany jest pierwszym, gdy z należenia abI wynika, że aI lub bI (a, bR).

Ideały pierwsze to w pewnym sensie te ideały dla których zachodzi teza lematu Euklidesa o podzielności liczb całkowitych, tzn. odgrywają one rolę liczb pierwszych w teorii pierścieni. Pojęcie ideału pierwszego znajduje zastosowania w geometrii algebraicznej i teorii liczb.

Z danym pierścieniem przemiennym z jedynką można w naturalny sposób stowarzyszyć pewną przestrzeń topologiczną, której punktami są ideały pierwsze, a zbiorami domkniętymi są zbiory wszystkich ideałów pierwszych zawierających ustalony podzbiór pierścienia. Przestrzeń ta nazywana jest spektrum pierwszym pierścienia R i oznaczana symbolem Spec R[1].

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Douglas Northcott: Ideal theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 9, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1969.

Przypisy

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.