Igła Buffona

W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

Opis problemu i rozwiązanie

Mamy planszę z zaznaczonymi poziomymi liniami odległymi od siebie o $t\,$. Upuszczamy na nią igłę o długości $l\,$, przy czym $l \leqslant t\,$. Eksperyment powtarzamy $n\,$ razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość $R\,$. Jak oszacować stosunek $\frac{R}{n}$, czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?

Niech $x\,$ będzie odległością środka igły od najbliższej linii, a $\theta\,$ ostrym kątem między igłą a linią. Obie zmienne losowe są niezależne i podlegają rozkładowi równomiernemu:

$x \sim U \left[ 0,\frac{t}{2} \right],\ \ \theta \sim U \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$

Igła przetnie linię jeśli

$x \leqslant \frac{l}{2}\sin\theta$

Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\,d\theta\int\limits_0^{\frac{l}{2}\cdot\sin\theta} \frac{2}{\pi}\cdot\frac{2}{t}\,dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{4}{\pi\cdot t}\cdot x\right]_{0}^{\frac{l}{2}\cdot sin{\theta}}\,d\theta= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{4}{\pi\cdot t}\cdot \frac{l}{2}\cdot sin\,\theta\, d\theta= \frac{2\cdot l}{\pi\cdot t}\cdot \left[-cos\,\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}= \frac{2\cdot l}{\pi\cdot t}\cdot\left(-cos\,\frac{\pi}{2}+cos\,0\right) =\frac{2\cdot l}{t\pi}.$

Ponieważ eksperyment pozwala oszacować prawdpopodobieństwo przecięcia linii i igły przez $\frac{R}{n}$, otrzymujemy równość:

$\frac{R}{n} = \frac{2\cdot l}{t\cdot\pi}$,

która po przekształceniu daje:

$\pi = \frac{2\cdot l\cdot n}{t\cdot R}$

Komentarze

Pierwotna wersja problemu dotyczyła oszacowania prawdopodobieństwa w grze Franc-Carreau polegającej na rzucaniu okrągłą monetą na podłogę podzieloną na kwadraty. Przegrana następowała jeśli moneta upadła na linię.

Łatwo zauważyć, że jeżeli znamy liczbę π, opisany eksperyment może służyć jako estymacja innych zmiennych, np. długości igły.

Linki zewnętrzne

• Igła Buffona (ang.) w encyklopedii MathWorld