Iloczyn Blaschkego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W analizie zespolonej iloczyn Blaschkego jest funkcją analityczną ograniczoną na otwartym kole jednostkowym. Funkcja ta jest skonstruowana w taki sposób, by posiadać ciąg (skończony lub nieskończony) liczb zespolonych a0, a1, ... wewnątrz koła jednostkowego.

Iloczyn Blaschkego jest powiązany z przestrzenią Hardy'ego. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1915 roku przez Wilhelma Blaschkego[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Ciąg punktów (a_n) wewnątrz koła jednostkowego spełnia warunki Blaschkego jeżeli

\sum_n (1-|a_n|) <\infty.

Wykorzystując taki ciąg, iloczyn Blaschkego jest zdefiniowany jako

B(z)=\prod_n B(a_n,z)

gdzie współczynniki

B(a,z)=\frac{|a|}{a}\;\frac{a-z}{1 - \overline{a}z}

o ile a ≠ 0, gdzie \overline{a} jest sprzężeniem zespolonym a. Gdy a = 0 wtedy B(0,z) = z.

Iloczyn Blaschkego B(z) definiuje funkcję analityczną na otwartym kole jednostkowym z zerami (pojedynczymi lub wielokrotnymi) an. Również, należy do przestrzeni Hardy'ego H^\infty[2].

Ciąg an spełniający powyższe warunki jest również zwany ciągiem Blaschkego.

Twierdzenie Szegő[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z twierdzeniem Gábor Szegő, jeżeli f należy do H^1 (przestrzeń Hardy'ego z całkowalną normą, oraz jeżeli f jest niezerowa, wtedy zera f spełniają warunki Blaschkego.

Skończony iloczyn Blaschkego[edytuj | edytuj kod]

Skończony iloczyn Blaschkego może być określony (jako analityczna funkcja na kole jednostkowym) w następujący sposób: Niech f będzie funkcją analityczną na otwartym kole jednostkowym taką, że f może być uciąglona na otwartym na zamkniętym dysku

\overline{\Delta}= \{z \in \mathbb{C}\,|\, |z|\le 1\}

który mapuje jednostkowy okrąg w siebie samego. Wtedy f jest równa skończonemu iloczynowi Blaschkego

 B(z)=\zeta\prod_{i=1}^n\left({{z-a_i}\over {1-\overline{a_i}z}}\right)^{m_i}

gdzie ζ leży na jednostkowym okręgu oraz mi jest wielokrotnością zera ai, |ai| < 1. W szczególności, jeżeli ƒ spełnia powyższe warunki oraz nie posiada zer wewnątrz jednostkowego okręgu wtedy ƒ jest stałą.

Przypisy

  1. W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915) pp. 194–200
  2. Conway (1996) 274

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]