Iloczyn Blaschkego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Iloczyn Blaschkegofunkcja analityczna ograniczona na otwartym kole jednostkowym. Funkcja ta jest skonstruowana w taki sposób, by posiadać ciąg (skończony lub nieskończony) liczb zespolonych wewnątrz koła jednostkowego.

Iloczyn Blaschkego jest powiązany z przestrzenią Hardy’ego. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1915 roku przez Wilhelma Blaschkego[1].

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Ciąg punktów wewnątrz koła jednostkowego spełnia warunki Blaschkego jeżeli

Wykorzystując taki ciąg, iloczyn Blaschkego jest zdefiniowany jako

gdzie współczynniki

o ile gdzie jest sprzężeniem zespolonym Gdy wtedy

Iloczyn Blaschkego definiuje funkcję analityczną na otwartym kole jednostkowym z zerami (pojedynczymi lub wielokrotnymi) Również należy do przestrzeni Hardy’ego [2].

Ciąg spełniający powyższe warunki jest również zwany ciągiem Blaschkego.

Twierdzenie Szegő[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z twierdzeniem Gábor Szegő, jeżeli należy do (przestrzeń Hardy’ego z całkowalną normą), oraz jeżeli jest niezerowa, wtedy zera spełniają warunki Blaschkego.

Skończony iloczyn Blaschkego[edytuj | edytuj kod]

Skończony iloczyn Blaschkego może być określony (jako analityczna funkcja na kole jednostkowym) w następujący sposób: Niech będzie funkcją analityczną na otwartym kole jednostkowym taką, że może być uciąglona na otwartym na zamkniętym dysku

który mapuje jednostkowy okrąg w siebie samego. Wtedy jest równa skończonemu iloczynowi Blaschkego

gdzie leży na jednostkowym okręgu oraz jest wielokrotnością zera W szczególności, jeżeli spełnia powyższe warunki oraz nie posiada zer wewnątrz jednostkowego okręgu, wtedy jest stałą.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915) s. 194–200.
  2. Conway (1996) 274.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]