Iloczyn Kroneckera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Iloczynem Kroneckera (nazwa pochodzi od Leopolda Kroneckera) macierzy A\in M_{m\times n}(R) i macierzy B\in M_{k\times l}(R) nazywamy macierz blokową wymiaru mk × nl postaci


 A \otimes B
        = \begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots \\
                          a_{21}B & a_{22}B \\
                          \vdots  &         & \ddots
          \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
       a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & \cdots \\
       a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} &        & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\
       \vdots       &              & \ddots \\
       a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} \\
       a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} \\
       \vdots
   \end{bmatrix}
.

Macierze A i B mogą być dowolnych rozmiarów.

Iloczyn Kroneckera nie jest przemienny, ale za to ma wiele ciekawych i nieoczekiwanych własności.

Własności iloczynu[edytuj | edytuj kod]

Własność mieszanego iloczynu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli założymy, że A, B, C, D są takie, że iloczyny AC i BD istnieją, to zachodzi


(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD

Odwrotność[edytuj | edytuj kod]

Jeśli A i B są odwracalne, to odwracalny jest ''A \otimes B'' oraz


(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}

Rozdzielność względem dodawania[edytuj | edytuj kod]


A\otimes (B+C)= A\otimes B + A\otimes C

(B+C)\otimes A= B\otimes A + C\otimes A

przy czym zakłada się, że B i C są tych samych wymiarów.

Transpozycja[edytuj | edytuj kod]


(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}

Własności macierzy kwadratowych[edytuj | edytuj kod]

Jeśli macierze A i Bkwadratowe wymiarów odpowiednio m i n, to


\det(A\otimes B) = (\det A)^{n}\cdot (\det B)^{m}

tr(A\otimes B)=tr(A)\cdot tr(B)

rz(A\otimes B)=rz(A)\cdot rz(B)

gdzie det wyznacznik macierzy,rz to rząd macierzy, a tr ślad macierzy.

Wartości własne[edytuj | edytuj kod]

Niech \{\lambda_{i} |\quad i= 1,\ldots, m\} oraz \{\mu_{j}|\quad j=1,\ldots,n\} są wszystkimi wartościami własnymi macierzy A i B, odpowiednio. Wtedy wszystkimi wartościami własnymi macierzy A \otimes B


\{\lambda_{i}\mu_{j}|\quad i = 1,\ldots, m, \quad j = 1,\ldots,n\}

Wzór[edytuj | edytuj kod]

Niech A = [ a_{ij} ]_{i = 1,\ldots,m,\atop{j = 1,\ldots,n}} oraz B = [ b_{pq} ]_{p = 1,\ldots,k,\atop{q = 1,\ldots,l}}. Wtedy współczynniki macierzy będącej iloczynem Kroneckera dane są wzorem


(A\otimes B)_{ij} = a_{((i - 1) \ div \  k) + 1,((j - 1) \ div\  l) + 1}\cdot b_{((i - 1) \ mod\ k) + 1,((j - 1) \ mod\  l) + 1}

gdzie div oznacza dzielenie całkowitoliczbowe.


Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]