Iloczyn Kroneckera

Iloczynem Kroneckera (nazwa pochodzi od Leopolda Kroneckera) macierzy $A\in M_{m\times n}(R)$ i macierzy $B\in M_{k\times l}(R)$ nazywamy macierz blokową wymiaru mk × nl postaci

$A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots \\ a_{21}B & a_{22}B \\ \vdots & & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & \cdots \\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\ \vdots & & \ddots \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} \\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} \\ \vdots \end{bmatrix}$.

Macierze A i B mogą być dowolnych rozmiarów.

Iloczyn Kroneckera nie jest przemienny, ale za to ma wiele ciekawych i nieoczekiwanych własności.

Własności iloczynu

Własność mieszanego iloczynu

Jeśli założymy, że A, B, C, D są takie, że iloczyny AC i BD istnieją, to zachodzi

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$

Odwrotność

Jeśli A i B są odwracalne, to odwracalny jest $''A \otimes B''$ oraz

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$

Rozdzielność względem dodawania

$A\otimes (B+C)= A\otimes B + A\otimes C$ $(B+C)\otimes A= B\otimes A + C\otimes A$

przy czym zakłada się, że B i C są tych samych wymiarów.

Transpozycja

$(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}$

Własności macierzy kwadratowych

Jeśli macierze A i B są kwadratowe wymiarów odpowiednio m i n, to

$\det(A\otimes B) = (\det A)^{n}\cdot (\det B)^{m}$ $tr(A\otimes B)=tr(A)\cdot tr(B)$ $rz(A\otimes B)=rz(A)\cdot rz(B)$

gdzie det wyznacznik macierzy,rz to rząd macierzy, a tr ślad macierzy.

Wartości własne

Niech $\{\lambda_{i} |\quad i= 1,\ldots, m\}$ oraz $\{\mu_{j}|\quad j=1,\ldots,n\}$ są wszystkimi wartościami własnymi macierzy A i B, odpowiednio. Wtedy wszystkimi wartościami własnymi macierzy $A \otimes B$ są

$\{\lambda_{i}\mu_{j}|\quad i = 1,\ldots, m, \quad j = 1,\ldots,n\}$

Wzór

Niech $A = [ a_{ij} ]_{i = 1,\ldots,m,\atop{j = 1,\ldots,n}}$ oraz $B = [ b_{pq} ]_{p = 1,\ldots,k,\atop{q = 1,\ldots,l}}$. Wtedy współczynniki macierzy będącej iloczynem Kroneckera dane są wzorem

$(A\otimes B)_{ij} = a_{((i - 1) \ div \ k) + 1,((j - 1) \ div\ l) + 1}\cdot b_{((i - 1) \ mod\ k) + 1,((j - 1) \ mod\ l) + 1}$

gdzie div oznacza dzielenie całkowitoliczbowe.

Linki zewnętrzne

• PlanetMath.org
• Mathworld