Iloczyn kompleksowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Iloczyn kompleksowydziałanie dwuargumentowe określone na podzbiorach pewnej grupy.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal P(G) oznacza zbiór potęgowy grupy G, czyli zbiór wszystkich jej podzbiorów. Iloczynem kompleksowym A, B \in \mathcal P(G) nazywa się zbiór

AB = \{ab\colon a \in A,\, b \in B\}.

Można przyjąć, iż

A^{-1} = \{a^{-1}\colon a \in A\}.

Przyjmuje się również, że jeżeli A=\{a\}, to dla dowolnego B \in \mathcal P(G) wyrażenie AB = \{a\}B zapisuje się po prostu aB. Podobnie, gdy A \in \mathcal P(G), a zbiór B = \{b\}, to iloczyn AB zapisuje się Ab. Zbiory te nazywa się zwykle warstwami.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Normalność i iloraz[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobne artykuły: podgrupa normalnagrupa ilorazowa.

Jeżeli N \trianglelefteq G oraz K \leqslant G, to zachodzi równość KN = NK, czyli KN jest podgrupą w G. Stąd iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy normalnej i dowolnej podgrupy w G jest podgrupą w całej grupie.

Żądanie warunku kN = Nk dla dowolnego k \in G wykorzystuje powyższą obserwację: gwarantuje on, że iloczyn warstw względem N znowu jest dobrze określoną warstwą względem N. Spośród wszystkich warstw jedynym podzbiorem G, który jest podgrupą jest eN = N = Ne, ponieważ wyłącznie \{e\} jest grupą (trywialną), gdzie e jest elementem neutralnym w G. Dlatego też zbiór warstw

G/N = \{gN \colon gN = Ng, g \in G\}

z iloczynem kompleksowym oraz grupą normalną H pełniącą rolę elementu neutralnego stanowi grupę nazywaną grupą ilorazową.

Iloczyny wewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: iloczyny grup.

Grupę G nazywa się:

  • iloczynem ogólnym H, K (iloczynem Zappy-Szépa), jeżeli każdy element g \in G ma dokładnie jedno przedstawienie postaci g = hk, gdzie h \in H, k \in K, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy G = HK oraz H \cap K = \{e\}, gdzie e \in G jest elementem neutralnym grupy;
  • iloczynem półprostym H, K, jeśli G jest iloczynem ogólnym tych podgrup oraz H \trianglelefteq G lub K \trianglelefteq G;
  • iloczynem prostym H, K, jeżeli G jest iloczynem ogólnym tych podgrup, a przy tym H \trianglelefteq G oraz K \trianglelefteq G.