Iloczyn kompleksowy

Iloczyn kompleksowy – działanie dwuargumentowe określone na podzbiorach pewnej grupy.

Definicja

Niech $\mathcal P(G)$ oznacza zbiór potęgowy grupy $G$, czyli zbiór wszystkich jej podzbiorów. Iloczynem kompleksowym $A, B \in \mathcal P(G)$ nazywa się zbiór

$AB = \{ab\colon a \in A,\, b \in B\}$.

Można przyjąć, iż

$A^{-1} = \{a^{-1}\colon a \in A\}$.

Przyjmuje się również, że jeżeli $A=\{a\}$, to dla dowolnego $B \in \mathcal P(G)$ wyrażenie $AB = \{a\}B$ zapisuje się po prostu $aB$. Podobnie, gdy $A \in \mathcal P(G)$, a zbiór $B = \{b\}$, to iloczyn $AB$ zapisuje się $Ab$. Zbiory te nazywa się zwykle warstwami.

Własności

• Iloczyn kompleksowy jest łączny i ma element neutralny – podgrupę trywialną w $G$. Zbiór potęgowy zbioru $G$ z działaniem iloczynu kompleksowego jest więc monoidem.
• Podzbiór $A$ jest podgrupą w $G$, $A \leqslant G$, wtedy i tylko wtedy, gdy $AA \subseteq A$ oraz $A^{-1} \subseteq A$, co stanowi inny sposób zapisu definicji podgrupy.
• Jeżeli $A \leqslant G$ i $B \leqslant G$, to $AB \leqslant G$ wtedy i tylko wtedy, gdy $AB = BA$.

Normalność i iloraz

Jeżeli $N \trianglelefteq G$ oraz $K \leqslant G$, to zachodzi równość $KN = NK$, czyli $KN$ jest podgrupą w $G$. Stąd iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy normalnej i dowolnej podgrupy w $G$ jest podgrupą w całej grupie.

Żądanie warunku $kN = Nk$ dla dowolnego $k \in G$ wykorzystuje powyższą obserwację: gwarantuje on, że iloczyn warstw względem $N$ znowu jest dobrze określoną warstwą względem $N$. Spośród wszystkich warstw jedynym podzbiorem $G$, który jest podgrupą jest $eN = N = Ne$, ponieważ wyłącznie $\{e\}$ jest grupą (trywialną), gdzie $e$ jest elementem neutralnym w $G$. Dlatego też zbiór warstw

$G/N = \{gN \colon gN = Ng, g \in G\}$

z iloczynem kompleksowym oraz grupą normalną $H$ pełniącą rolę elementu neutralnego stanowi grupę nazywaną grupą ilorazową.

Iloczyny wewnętrzne

Grupę $G$ nazywa się:

• iloczynem ogólnym $H, K$ (iloczynem Zappy-Szépa), jeżeli każdy element $g \in G$ ma dokładnie jedno przedstawienie postaci $g = hk$, gdzie $h \in H, k \in K$, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $G = HK$ oraz $H \cap K = \{e\}$, gdzie $e \in G$ jest elementem neutralnym grupy;
• iloczynem półprostym $H, K$, jeśli $G$ jest iloczynem ogólnym tych podgrup oraz $H \trianglelefteq G$ lub $K \trianglelefteq G$;
• iloczynem prostym $H, K$, jeżeli $G$ jest iloczynem ogólnym tych podgrup, a przy tym $H \trianglelefteq G$ oraz $K \trianglelefteq G$.