Iloczyn kompleksowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Iloczyn kompleksowy – w teorii grup dwuargumentowe działanie wewnętrzne określone na niepustych podzbiorach danej grupy.

Pojęcie kompleksu ma na celu wykluczenie z rozważań mało interesującego z algebraicznego punktu widzenia podzbioru pustego (najmniejszą podgrupą w grupie jest jednoelementowa podgrupa trywialna). Unifikująca notacja iloczynu kompleksów, którymi są tak podgrupy, jak i warstwy danej grupy, skraca język opisu struktury grupy: ułatwia opis konstrukcji grupy ilorazowej, czy iloczynów wewnętrznych (zob. osobną sekcję).

Definicje i oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobne artykuły: grupapodzbiór.

Kompleksem grupy nazywa się dowolny jej niepusty podzbiór; jeżeli \scriptstyle A, B są kompleksami w grupie \scriptstyle G, to ich iloczynem nazywa się kompleks

AB = \{ab\colon a \in A,\, b \in B\}.

Kompleks \scriptstyle E = \{e\}, gdzie \scriptstyle e \in G jest elementem neutralnym jest elementem neutralnym iloczynu kompleksowego; przyjmuje się również następujące oznaczenie

A^{-1} = \{a^{-1}\colon a \in A\}.

Dla kompleksu jednoelementowego \scriptstyle \{a\} iloczyny \scriptstyle \{a\}B oraz \scriptstyle B\{a\} zapisuje się zwyczajowo \scriptstyle aB oraz \scriptstyle Ba; kompleksy te są w istocie warstwami względem \scriptstyle B wyznaczonymi przez \scriptstyle a.

Własności i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Charakteryzacja podgrupy za pomocą iloczynu kompleksowego jest bardzo zwarta: kompleks \scriptstyle A jest podgrupą w \scriptstyle G wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle AA \subseteq A oraz \scriptstyle A^{-1} \subseteq A (bądź krócej: \scriptstyle AA^{-1} \subseteq A).

Iloczyn kompleksowy \scriptstyle AB podgrup \scriptstyle A oraz \scriptstyle B sam jest podgrupą w \scriptstyle G wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle AB = BA. Jeśli choć jedna z podgrup \scriptstyle A oraz \scriptstyle B jest normalna, to \scriptstyle AB = BA, skąd iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy i podgrupy normalnej również jest podgrupą.

Na zbiorze wszystkich kompleksów grupy \scriptstyle G iloczyn kompleksowy jest działaniem łącznym i ma element neutralny \scriptstyle E; niepuste podzbiory tej grupy tworzą więc z działaniem iloczynu kompleksowego monoid.

Ograniczywszy się do konkretnego rodzaju kompleksów dla ww. monoidu można zagwarantować strukturę grupy: jeśli \scriptstyle H jest normalna, to \scriptstyle aH = Ha dla dowolnego \scriptstyle a \in G, skąd iloczyn kompleksowy warstw \scriptstyle (aH)(bH) równy \scriptstyle (ab)H również jest warstwą; dla tak ograniczonego do warstw iloczynu kompleksowego można zapewnić istnienie jednoznacznie wyznaczonej odwrotności dla dowolnej tego rodzaju warstwy: \scriptstyle (aH)^{-1} = a^{-1}H. Obserwacje te są kluczowymi elementami konstrukcji grupy ilorazowej z wykorzystaniem iloczynu kompleksowego.

Grupę \scriptstyle G nazywa się iloczynem ogólnym bądź iloczynem Zappy-Szépa jej podgrup \scriptstyle H oraz \scriptstyle K, jeżeli \scriptstyle G = HK oraz \scriptstyle H \perp K, tzn. \scriptstyle H \cap K = E; jeżeli choć jedna z tych podgrup jest normalna, to \scriptstyle G nazywa się iloczynem półprostym podgrup \scriptstyle H oraz \scriptstyle K, gdy zaś obie są normalne, to \scriptstyle G jest ich iloczynem prostym.

W przypadku grup abelowych, gdzie wszystkie podgrupy są normalne, powyższe trzy rodzaje iloczynów są tożsame i są zwykle nazywane (wewnętrzną) sumą prostą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]