Iloczyn nieskończony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).

Ustalenia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli p_1, p_2, \ldots, p_n, \ldots jest ciągiem liczb, to liczby P_1=p_1, P_2=p_1p_2, \ldots, P_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

\prod_{n=1}^\infty p_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n\ldots

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu p_n, natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

\lim_{n\to\infty}P_n=\prod_{n=1}^\infty p_n

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym - w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

Związek z szeregami[edytuj | edytuj kod]

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu p_n nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu p_n jest zbieżny, to

\lim_{n\to\infty}p_n=1.

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn nieskończony ciągu p_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

\sum_{n=1}^{\infty} \ln p_n.

Jeżeli warunek ten jest spełniony i L jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi e^L.

Można podać też inne kryteria zbieżności:

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciągu liczbowego a_n są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
\prod_{n=1}^\infty (1+a_n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^\infty a_n.
  • Jeżeli zbieżne są szeregi: \sum_{n=1}^\infty a_n i \sum_{n=1}^\infty a^2_n, to zbieżny jest iloczyn \prod_{n=1}^\infty (1+a_n).

Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn \prod_{n=1}^\infty (1+|a_n|).

Warunek Cauchy'ego dla iloczynów: Iloczyn \prod_{n=1}^\infty (1+a_n) jest wtedy i tylko wtedy, gdy \forall \epsilon >0 \exists n_0 \forall n>n_0 \forall k\in \mathbb{N} |\frac{P_{n+k}}{P_{n}}-1|<\epsilon.

Wniosek: Iloczyn \prod_{n=1}^\infty (1+a_n) jest bezwzględnie zbieżny \Leftrightarrow Szereg \sum_{n=1}^{\infty} a_n jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone[edytuj | edytuj kod]

\sin z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right) - szczególny przypadek - iloczyn Wallisa:
\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{ 4 n^2 }{ 4 n^2 - 1 }
\cos z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)
\sinh z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)
\cosh z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)
\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})} - Funkcja ζ Riemanna, p_n oznacza ciąg liczb pierwszych
\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots - iloczyn Vièta

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.