Iloczyny grup

Iloczyny (produkty) grup – w teorii grup są to sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjański

Niech $\{G_i\colon i \in I\}$ będzie rodziną grup, gdzie $I$ jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy zbiór

$\prod_{i \in I} G_i = G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n \times \dots = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon g_i \in G_i, i \in I\}$

z działaniem

$(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)(h_1, h_2, \dots, h_n, \dots) \overset\underset\mathrm{def}\ = (g_1 h_1, g_2 h_2, \dots, g_n h_n, \dots)$.

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

• elementem neutralnym jest $e = (e_1, e_2, \dots, e_n, \dots)$, gdzie $e_i$ jest elementem neutralnym grupy $G_i$ dla każdego $i \in I$,
• elementem odwrotnym do elementu $g = (g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)$ jest $g^{-1} = (g_1^{-1}, g_2^{-1}, \dots, g_n^{-1}, \dots)$.

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem $\prod_{i \in I} G_i$.

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prosty

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup $G_i$ określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup $\prod_{i \in I} G_i$ określonego równością

$\coprod_{i \in I} G_i \overset\underset\mathrm{def}\ = \{(g_1, g_2, \dots, g_n, \dots)\colon \exists_m\; \forall_{i > m}\; g_i = e_i\}$.

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako suma prosta właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Uwagi

Jeżeli $I = \{1, 2, \dots, n\}$ jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis $G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n$.

Jeżeli jednak $I = \mathbb N$ jest zbiorem przeliczalnym, a $G_i$ są nietrywialne dla nieskończenie wielu $i \in I$, to $\coprod G_i < \prod G_i$.

Suma prosta

Jeżeli rozważamy grupy $A_i$ z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

$\bigoplus_{i \in I} A_i$.

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych $G = H \oplus K = K \oplus H$. Jest również łączny w sensie, że jeżeli $G = H \oplus K$ oraz $K = L \oplus M$, to $G = H \oplus (L \oplus M) = H \oplus L \oplus M$.

Jeżeli $G = H \oplus K$, to można udowodnić, że:

• dla dowolnych $h \in H,\; k \in K$ zachodzi $h + k = k + h$,
• dla dowolnych $g \in G$ istnieją jednoznacznie wyznaczone $h \in H,\; k \in K$ takie, że $g = h + k$,
• zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. $(H \oplus K)/K$ jest izomorficzna z $H$.

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady

• grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.

Iloczyn półprosty

Niech będą dane grupy $N$ i $D$ oraz homomorfizm $\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N$ grupy $D$ w grupę automorfizmów grupy $N$.

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup $N$ i $D$ za pośrednictwem $\varphi$, oznaczanym $N \rtimes_{\varphi} D$, nazywa się grupę składająca się z elementów $(n, d),\; n \in N, d \in D$ wraz z działaniem określonym wzorem

$(n_1, d_1)(n_2, d_2) = \left(n_1 \varphi_{d_1}(n_2), d_1 d_2\right)$

oraz odwrotnością daną przez

$(n, d)^{-1} = \left(\varphi_{d^{-1}}(n^{-1}), d^{-1}\right)$,

i elementem neutralnym

$(e, 1)$

gdzie $e \in N$ oraz $1 \in D$ są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny

Niech $N$ będzie podgrupą normalną w $G$. Dopełnieniem normalnym $D$ podgrupy $N$ w $G$ nazywamy zbiór spełniający warunki $N \cap D = \{e\}$ oraz $ND = G$ (równoważnie $DN = G$).

Grupę $G$ nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup $N$ i $D$, co oznacza $N \rtimes D$ wtedy i tylko wtedy, gdy $D$ jest dopełnieniem normalnym $N$.

Jeżeli grupa $G$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup $N$ i $D$, to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym $N \rtimes_\varphi D$ za pośrednictwem homomorfizmu $\varphi:D\to \operatorname{Aut} N$ określonego jako $\varphi_d(n) = dnd^{-1}$, czyli sprzężenie $n$ przez $d$. Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny $N \rtimes_\varphi D$ jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup $N\times\{1\}$ oraz $\{e\}\times D$, przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

Uwagi

• $N \rtimes_\varphi D \equiv N \times D$ wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm $\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N$ jest trywialny.
• $N \rtimes_\varphi D$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $N, D$ są przemienne oraz $\varphi\colon D \to \operatorname{Aut}\; N$ jest trywialny.

Przykłady

• Grupa diedralna rzędu $2n$ jest iloczynem półprostym wewnętrznym $D_{2n} = \mathbb Z_n \ltimes \mathbb Z_2$.
• Grupa izometrii przestrzeni $\mathbb R^n$ jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

Zobacz też

• iloczyn kompleksowy
• holomorf

Bibliografia

• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4

Linki zewnętrzne

• Bojanowska, Traczyk, Algebra, skrypt