Iloraz różnicowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech f: X \to Y i x_1,\; x_2 \in X. Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz

f(x_2)-f(x_1) \over x_2-x_1.

Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie \Delta f \over \Delta x, gdzie \Delta f oznacza licznik, zaś \Delta x – mianownik powyższego ułamka.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji f: \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x)=x^3 i punktów x_1=0,\; x_2=1 ich iloraz różnicowy wynosi:

{1^3-0^3 \over 1-0}=1.

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów x_1,\; x_2. Prostą PQ nazywa się sieczną lub cięciwą.

Uwaga
\operatorname{tg }\alpha = {\Delta f \over \Delta x}
wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.
Difference quotient-chart.png

Jeżeli f określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji f w dla punktów x_1,\; x_2 określa średnią prędkość ciała w czasie od x_1 do x_2.

Związek z pochodną[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pochodna.

Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie x0 jest definiowana jako następująca granica ilorazu różnicowego:

f'(x_{0}) = \lim _{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Ilorazem różnicowym N-tego rzędu funkcji f: X \to Y w punktach x_0,\; x_1,\; \dots, x_N \in X nazywamy funkcję

f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_N] := \sum\limits_{i=0}^N~{f(x_i) \over \prod\limits_{j=0 \atop j \neq i}^N (x_i-x_j)}.

Prawdziwy jest związek rekurencyjny:

\begin{cases} f[x_i]=f(x_i) \quad (0 \leqslant i \leqslant N) \\ f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_k] = {f[x_1,\; x_2,\; \dots,\; x_k] - f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_{k-1}] \over x_k - x_0} \quad (k = 1,\; 2,\; \dots,\; N) \end{cases}.