Iloraz różnicowy

Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja

Niech $f: X \to Y$ i $x_1,\; x_2 \in X$. Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz

$f(x_2)-f(x_1) \over x_2-x_1$.

Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie $\Delta f \over \Delta x$, gdzie $\Delta f$ oznacza licznik, zaś $\Delta x$ – mianownik powyższego ułamka.

Przykład

Dla funkcji $f: \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x)=x^3$ i punktów $x_1=0,\; x_2=1$ ich iloraz różnicowy wynosi:

${1^3-0^3 \over 1-0}=1$.

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów $x_1,\; x_2$. Prostą $PQ$ nazywa się sieczną lub cięciwą.

Uwaga

$\operatorname{tg }\alpha = {\Delta f \over \Delta x}$

wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.

Jeżeli $f$ określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji $f$ w dla punktów $x_1,\; x_2$ określa średnią prędkość ciała w czasie od $x_1$ do $x_2$.

Związek z pochodną

Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie x₀ jest definiowana jako następująca granica ilorazu różnicowego:

$f'(x_{0}) = \lim _{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}$

Uogólnienia

Ilorazem różnicowym $N$-tego rzędu funkcji $f: X \to Y$ w punktach $x_0,\; x_1,\; \dots, x_N \in X$ nazywamy funkcję

$f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_N] := \sum\limits_{i=0}^N~{f(x_i) \over \prod\limits_{j=0 \atop j \neq i}^N (x_i-x_j)}$.

Prawdziwy jest związek rekurencyjny:

$\begin{cases} f[x_i]=f(x_i) \quad (0 \leqslant i \leqslant N) \\ f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_k] = {f[x_1,\; x_2,\; \dots,\; x_k] - f[x_0,\; x_1,\; \dots,\; x_{k-1}] \over x_k - x_0} \quad (k = 1,\; 2,\; \dots,\; N) \end{cases}$.