Implikacja materialna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Implikacja, implikacja materialna (w odróżnieniu od implikacji formalnej, tj. wynikania) – zdanie logiczne lub funkcja zdaniowa powstałe przez połączenie dwóch zdań p (poprzednik implikacji) i q (następnik implikacji) spójnikiem implikacji p \rightarrow q.

Spójnik implikacji jest spójnikiem ekstensjonalnym, implikacja przyjmuje wartości logiczne zależące jedynie od wartości logicznych łączonych zdań. Tablica prawdy (matryca logiczna) implikacji, gdzie 1 to prawda, 0 to fałsz:

p q p \rightarrow q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Implikacja spełnia poniższą równoważność:

(p \rightarrow q) \iff (\neg q \rightarrow \neg p)

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost.

Definicja klasyczna
Znak „<” przyjęto nazywać znakiem implikacji, od łac. implico – wplatam, dla zaznaczenia, ze następnik jest niejako wpleciony, wwikłany w poprzednik, skoro w prawdziwej implikacji poprzednik nie może być prawdziwy bez prawdziwości następnika. Samo zaś zdanie postaci „p < q”, czyli zdanie warunkowe, nazywa się częstokroć wprost implikacją. (T. Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk, Warszawa, PWN, 1986 (1929), s. 140).

Nieintuicyjność implikacji materialnej stała się inspiracją dla konstrukcji pojęcia impikacji ścisłej, a przez to zaczynem współczesnych badań nad logikami modalnymi.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Intuicja: implikację można traktować jako obietnicę: „obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki to zacznę odrabiać zadania”. Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1⇒1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1⇒0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

  • Zdanie „Jeśli Rzym jest stolicą Włoch, to Warszawa jest stolicą Francji” jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika), jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).
  • Zdanie „Jeśli księżyc jest z sera, to Warszawa jest stolicą Francji” jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.
  • Zdanie „Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.

Implikacja w informatyce[edytuj | edytuj kod]

W językach programowania takich jak Java albo C++ nie ma prostego operatora implikacji. Można ją jednak uzyskać w następujący sposób:

(p \rightarrow q) \Leftrightarrow (\lnot p \lor q)\,\!
Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceumLogika