Interpolacja dwuliniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Q11, Q12, Q21, Q22 - punkty, w których wartość funkcji jest znana
P - punkt, który chcemy interpolować.

Interpolacja dwuliniowa jest rozszerzeniem interpolacji liniowej. Metoda ta pozwala na interpolację funkcji dwóch zmiennych. Intuicyjnie interpolacja dwuliniowa jest złożeniem dwóch interpolacji liniowych. W celu przeprowadzenia interpolacji dwuliniowej przeprowadza się dwie interpolacje liniowe dla jednego kierunku (np. wzdłuż osi OX w układzie kartezjańskim), a następnie dla tak uzyskanych wartości przeprowadza się interpolację liniową dla drugiego kierunku (osi OY).

Najpierw przeprowadzana jest interpolacja liniowa wzdłuż osi OX, otrzymujemy:

 f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{gdzie}\quad R_1 = (x,y_1)
 f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{gdzie}\quad R_2 = (x,y_2)


Następnie przeprowadzana jest interpolacja wzdłuż osi OY:

 f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).


Jeśli przyjmiemy system współrzędnych, w którym znane wartości funkcji f znajdują się w punktach o współrzędnych Q11(0, 0), Q12(0, 1), Q21(1, 0), i Q22(1, 1), wtedy wzór na interpolację upraszcza się do postaci:

 f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.

Postać macierzowa równania:

 f(x,y) \approx \begin{bmatrix}
1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
f(0,0) & f(0,1) \\
f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1-y \\
y \end{bmatrix}


Wizualizacja interpolacji dwuliniowej. Wartość funkcji f w punkcie Q22 zmienia się od wartości 0.0 do 1.0;


Interpolacja dwuliniowa używana jest m.in. w algorytmach służących do zmiany rozdzielczości obrazu cyfrowego.