Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny – uogólnienie pojęcia odległości na czterowymiarową czasoprzestrzeń. W najprostszym przypadku czasoprzestrzeni Minkowskiego (w szczególnej teorii względności) wzór na interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami '1' i '2' ma następującą postać:

$\Delta s_{12}^2={c^2({t_2}-{t_1})}^2-{[({x_2}-{x_1})^2}+{({y_2}-{y_1})^2}+({z_2}-{z_1})^2]\;,$

(1)

gdzie:

$\Delta s_{12}^2\;$ – interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami mierzony w inercjalnym układzie odniesienia;

$t_1$ i $t_2$ – współrzędne czasowe zdarzenia '1' i '2', odpowiednio;

$x_1,\,y_1,\,z_1$ i $x_2,\,y_2,\,z_2$ – odpowiednie współrzędne przestrzenne zdarzeń;

c – prędkość światła.

Dla nieskończenie małych różnic w położeniu w czasoprzestrzeni interwał różniczkowy można zapisać jako

$\text{d} s^2 = c^2\text{d}t^2-(\text{d} x^2+\text{d} y^2+\text{d} z^2)\;.$

(2)

Interwał między dwoma zdarzeniami czasoprzestrzennymi jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Istnieje również konwencja, w której do obliczenia interwału czasoprzestrzennego przy odstępie czasowym stawia się znak -, zaś część przestrzenna ma znak +. Jest to zależne od sygnatury tensora metrycznego. Powyższe wzory zakładają sygnaturę "+ - - -".

Zapis tensorowy

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Korzystając z tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego $\eta_{\mu\nu}$, interwał czasoprzestrzenny można zapisać następująco:

$\Delta s^2=\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=\Delta x_{\mu}\Delta x^{\mu}\;.$

(3)

Dla różniczek interwał czasoprzestrzenny przyjmuje analogiczną postać:

$ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dx_{\mu}dx^{\mu}\;.$

(4)

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności można otrzymać poprzez zastąpienie tensora z przestrzeni Minkowskiego $\eta_{\mu\nu}$ przez tensor metryczny OTW $g_{\mu\nu}\;$:

$\Delta s^2=g_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=\Delta x_{\mu}\Delta x^{\mu}\;$

(5)

W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy, czyli jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, również w poruszających się z przyspieszeniem względem danego układu odniesienia.

Typy interwałów czasoprzestrzennych

Interwały czasoprzestrzenne dzielimy na:

• czasowe $\Delta s_{12}^2>0\;$
• zerowe $\Delta s_{12}^2=0\;$
• przestrzenne $\Delta s_{12}^2<0\;$

Interwały czasowe i zerowe opisują zdarzenia, które mogły mieć na siebie wpływ (informacja o jednym mogła dotrzeć do drugiego), przy czym interwał zerowy dotyczy dwóch punktów połączonych linią geodezyjną (uogólnieniem prostej w czasoprzestrzeni), czyli drogą, po której poruszają się fotony. Natomiast zdarzenia, między którymi interwał jest typu przestrzennego, nie są ze sobą powiązane przyczynowo-skutkowo, chyba że dopuścimy możliwość poruszania się szybciej niż światło.