Interwał czasoprzestrzenny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Interwał czasoprzestrzenny – uogólnienie pojęcia odległości na czterowymiarową czasoprzestrzeń. W najprostszym przypadku czasoprzestrzeni Minkowskiego (w szczególnej teorii względności) wzór na interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami '1' i '2' ma następującą postać:

\Delta s_{12}^2={c^2({t_2}-{t_1})}^2-{[({x_2}-{x_1})^2}+{({y_2}-{y_1})^2}+({z_2}-{z_1})^2]\;,
(1)

gdzie:

\Delta s_{12}^2\; – interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami mierzony w inercjalnym układzie odniesienia;
t_1 i t_2 – współrzędne czasowe zdarzenia '1' i '2', odpowiednio;
x_1,\,y_1,\,z_1 i x_2,\,y_2,\,z_2 – odpowiednie współrzędne przestrzenne zdarzeń;
c – prędkość światła.

Dla nieskończenie małych różnic w położeniu w czasoprzestrzeni interwał różniczkowy można zapisać jako

\text{d} s^2 = c^2\text{d}t^2-(\text{d} x^2+\text{d} y^2+\text{d} z^2)\;.
(2)

Interwał między dwoma zdarzeniami czasoprzestrzennymi jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Istnieje również konwencja, w której do obliczenia interwału czasoprzestrzennego przy odstępie czasowym stawia się znak -, zaś część przestrzenna ma znak +. Jest to zależne od sygnatury tensora metrycznego. Powyższe wzory zakładają sygnaturę "+ - - -".

Zapis tensorowy[edytuj | edytuj kod]

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Korzystając z tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego \eta_{\mu\nu}, interwał czasoprzestrzenny można zapisać następująco:

\Delta s^2=\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=\Delta x_{\mu}\Delta x^{\mu}\;.
(3)

Dla różniczek interwał czasoprzestrzenny przyjmuje analogiczną postać:

ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dx_{\mu}dx^{\mu}\;.
(4)

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności można otrzymać poprzez zastąpienie tensora z przestrzeni Minkowskiego \eta_{\mu\nu} przez tensor metryczny OTW g_{\mu\nu}\;:

\Delta s^2=g_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=\Delta x_{\mu}\Delta x^{\mu}\;
(5)

W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy, czyli jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, również w poruszających się z przyspieszeniem względem danego układu odniesienia.

Typy interwałów czasoprzestrzennych[edytuj | edytuj kod]

Interwały czasoprzestrzenne dzielimy na:

  • czasowe \Delta s_{12}^2>0\;
  • zerowe \Delta s_{12}^2=0\;
  • przestrzenne \Delta s_{12}^2<0\;

Interwały czasowe i zerowe opisują zdarzenia, które mogły mieć na siebie wpływ (informacja o jednym mogła dotrzeć do drugiego), przy czym interwał zerowy dotyczy dwóch punktów połączonych linią geodezyjną (uogólnieniem prostej w czasoprzestrzeni), czyli drogą, po której poruszają się fotony. Natomiast zdarzenia, między którymi interwał jest typu przestrzennego, nie są ze sobą powiązane przyczynowo-skutkowo, chyba że dopuścimy możliwość poruszania się szybciej niż światło.