Inwersja (geometria)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Inwersja – w geometrii rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. Pojęcie to uogólnia się na przestrzenie wyższego wymiaru, zob. Uogólnienia.

Choć inwersje można zdefiniować dla płaszczyzny euklidesowej (lub ogólniej: afinicznej), to naturalnym miejscem badania tych przekształceń jest płaszczyzna inwersyjna rozszerzająca płaszczyznę o nienależący do niej punkt \scriptstyle \infty nazywany punktem w nieskończoności (nieskończenie dalekim, niewłaściwym, idealnym). Dodanie punktu \scriptstyle \infty do liczb zespolonych (zob. uzwarcenie) daje zespoloną prostą rzutową nazywaną często sferą Riemanna.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Punkt \scriptstyle \mathrm P' jest przekształcany w inwersji względem okręgu o środku \scriptstyle \mathrm O na punkt \scriptstyle \mathrm P'.

Inwersją względem okręgu \scriptstyle c(\mathrm o, r) nazywa się przekształcenie \scriptstyle \mathrm x \mapsto \mathrm x' płaszczyzny euklidesowej spełniające warunki:

\mathrm x' \in \mathrm{ox}^\rightarrow,

oraz

|\mathrm{ox}| |\mathrm{ox'}| = r^2 \quad\mbox{ dla } \mathrm x \ne \mathrm o.

Na płaszczyźnie inwersyjnej dodaje się jeszcze dwa warunki, dzięki którym przekształcenie inwersyjne jest określone dla wszystkich jej punktów:

\mathrm o \mapsto \infty \quad\mbox{ oraz }\quad \infty \mapsto \mathrm o.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Inwersja względem okręgu o środku \scriptstyle \mathrm O przekształca okrąg przechodzący przez punkt \scriptstyle \mathrm O na prostą nieprzechodzącą przez ten punkt (i odwrotnie).
Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek \scriptstyle \mathrm O okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt.

Punktami stałymi inwersji są punkty okręgu inwersyjnego. Ponadto przekształca ona uogólnione okręgi (okręgi i proste) na uogólnione okręgi, dokładniej:

  • Przekształca proste nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego (i na odwrót); odwzorowuje w siebie proste przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego.
  • Odwzorowuje okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego; uogólniony okrąg przechodzi w siebie wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do okręgu inwersyjnego w ich punktach przecięcia.

Wymienione przekształcenia można odwrócić, gdyż inwersja jest inwolucją. Dodatkowo inwersje są odwzorowaniami wiernokątnymi, tzn. zachowują kąty między krzywymi (w szczególności: prostymi i okręgami), lecz zmieniają znak miary kątów skierowanych (są antykonforemne).

Złożenie dwóch inwersji względem współśrodkowych okręgów o promieniach \scriptstyle r_1, r_2 jest złożeniem dwóch jednokładności o skali \scriptstyle (r_1/r_2)^2.

Odwrotność zespolona[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ punktowi płaszczyzny można przypisać liczbę zespoloną \scriptstyle z, to można zdefiniować inwersję względem okręgu jednostkowego za pomocą odwrotności \bar z^{-1} = \frac{z}{|z|^2}, gdzie  \bar z oznacza sprzężenie liczby \scriptstyle z..

Odwrotność zespolona jest obok przesunięć równoległych i obrotów generatorem grupy Möbiusa. To właśnie odwrotność nadaje osobliwy ton geometrii Möbiusa utożsamianej czasem z geometrią inwersyjną (płaszczyzny euklidesowej). Geometria inwersyjna jest bogatsza niż geometria Möbiusa, gdyż operuje się w nim odwzorowaniem inwersyjnym nieprzekształconym poprzez sprzężenie w odwrotność. W ten sposób zawiera ona także sprzężenie, z kolei grupa Möbiusa nie zawiera ani sprzężenia, a co za tym idzie inwersji względem okręgu, gdyż nie są one konforemne (elementami tej grupy są funkcje analityczne płaszczyzny, które są konforemne).

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: geometria inwersyjna.

Inwersja względem okręgu uogólnia się na inwersję względem sfery w przestrzeni trójwymiarowej mutatis mutandis. Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym obrazem inwersyjnym sfery jest sfera, ale gdy przechodzi ona przez środek sfery inwersyjnej, to jest ona przekształcana w płaszczyznę; dowolna płaszczyzna nie przechodząca przez środek sfery inwersyjnej jest przekształcana w inwersji na sferę zawierającą środek sfery inwersyjnej.

Rzut stereograficzny to przypadek szczególny inwersji sfery. Niech dana będzie sfera \scriptstyle B o promieniu jednostkowym i płaszczyzna \scriptstyle P styczna z \scriptstyle B w biegunie południowym \scriptstyle S sfery \scriptstyle B. Wówczas \scriptstyle P jest rzutem stereograficznym \scriptstyle B względem bieguna północnego \scriptstyle N sfery \scriptstyle B. Inwersja względem sfery \scriptstyle B_2 o promieniu 2 i środku \scriptstyle N przekształca \scriptstyle B na jej rzut stereograficzny \scriptstyle P.

Geometria inwersyjna służy badaniu przekształceń generowanych przez przekształcenia euklidesowe wraz z inwersją względem \scriptstyle n-sfery,

x_i \mapsto \frac{r^2 x_i}{\sum_j x_j^2},

gdzie r oznacza promień inwersji. Na płaszczyźnie, dla \scriptstyle r = 1, powyższy wzór opisuje inwersję względem okręgu jednostkowego.

Odwzorowania konforemne przestrzeni wyższych wymiarów można opisać jako złożenia inwersji względem hipersfer lub hiperpłaczyzn oraz ruchów euklidesowych, o czym mówi twierdzenie Liouville'a o odwzorowaniach konforemnych.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]