Inwolucja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Inwolucja – w matematyce funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Z powyższych definicji wynika, że inwolucja musi być funkcją zbioru w siebie; jeśli \scriptstyle f\colon X \to X jest taką funkcją i dla dowolnego \scriptstyle x \in X zachodzi warunek \scriptstyle f\displaystyle(\scriptstyle f(x)\displaystyle)\scriptstyle = x, bądź \scriptstyle f \circ f = \mathrm{id}_X, to funkcję tę nazywa się inwolucją (druga definicja uogólnia się w teorii kategorii na morfizmy).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Inwolucja zbioru.

Każda inwolucja, jako funkcja odwracalna, jest bijekcją (w przypadku morfizmów – izomorfizmem). Ponadto dla dowolnego \scriptstyle k \in \mathbb N jest

f^{2k} = \mathrm{id}_X \text{ oraz } f^{2k+1}(x) = f.

Jeśli \scriptstyle X^Y oznacza zbiór wszystkich funkcji \scriptstyle X \to Y, zaś \scriptstyle i\colon Y \to Y jest inwolucją, to funkcja \scriptstyle \mathrm A\colon X^Y \to X^Y dana wzorem

\mathrm A(f) := i \circ f

jest inwolucją. Podobnie jeżeli funkcja \scriptstyle \mathrm B\colon Y^Z \to Y^Z zdefiniowana jest wzorem

\mathrm B(g) := g \circ i,

to jest ona inwolucją (własności te zachodzą dla morfizmów w dowolnej kategorii).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe. Inwolucją jest funkcja \scriptstyle A^2 \to A^2, czyli kwadratu kartezjańskiego zbioru \scriptstyle A w siebie dane wzorem \scriptstyle (x, y) \mapsto (y, x); zbiorem jej punktów stałych jest przekątna \scriptstyle \Delta A := \displaystyle\{\scriptstyle (x, x)\colon x \in A \displaystyle\}\scriptstyle. Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. transpozycja macierzy (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez transpozycję ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi).

Zmiana znaku \scriptstyle x \mapsto -x jest inwolucją w dowolnej grupie (w notacji addytywnej), a więc pierścieniu (np. liczb całkowitych) czy ciele (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych); odwrotność \scriptstyle x \mapsto 1/x jest inwolucją w grupie elementów odwracalnych (grupie multiplikatywnej ciała, np. liczb wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest sprzężenie. W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz odwracanie macierzy.

Z punktu widzenia algebry, a w szczególności teorii grup zasadniczo inwolucją nazywa się element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli element neutralny; wynika to stąd, iż tworzą one podgrupę grupy symetrycznej złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. Grupy Coxetera to grupy generowane przez inwolucje[1].

W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie (m.in. zwierciadlana, osiowa, środkowa) oraz inwersja. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład [2].

W teorii zbiorów inwolucjami są różnica symetryczna z ustalonym zbiorem czy dopełnienie zbioru (do przestrzeni), które jest inwolucją także w dowolnej algebrze Boole'a. W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.
  2. S. López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.