Izomorfizm muzyczny

Izomorfizm muzyczny – izomorfizm między wiązką styczną $TM$ a wiązką kostyczną $T^{*}M$ rozmaitości riemannowskiej $M$ określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Dyskusja

Niech $(M,g)$ oznacza rozmaitość riemannowską, zaś $\{\partial _{i}\}$ oznacza lokalny układ współrzędnych dla wiązki stycznej $\operatorname {T} M$ z dualnym do niego koukładem $\{\operatorname {d} x^{i}\}.$ Wówczas można wyrazić lokalnie metrykę riemannowską (która jest 2-kowariantnym polem tensorowym symetrycznym i dodatnio określone) jako $g=g_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}.$ Dla danego pola wektorowego $X=X^{i}\partial _{i}$ można zdefiniować jego bemol jako

$X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\operatorname {d} x^{j}=:X_{j}\operatorname {d} x^{j}.$

Operację tę nazywa się „opuszczaniem wskaźnika”. Korzystając z tradycyjnej notacji nawiasów kątowych dla iloczynu skalarnego wyznaczonego przez $g$ otrzymuje się nieco bardziej przejrzysty związek

$X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\rangle$

dla wszystkich wektorów $X$ oraz $Y.$

Alternatywnie, dla danego pola kowektorowego $\omega =\omega _{i}\operatorname {d} x^{i}$ można określić jego krzyżyk jako

$\omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\partial _{j},$

gdzie $g^{ij}$ są elementami macierzy odwrotnej do $g_{ij}.$ Branie krzyżyka pola kowektorowego nazywa się „podnoszeniem wskaźnika”.

Konstrukcja ta daje dwa wzajemnie odwrotne izomorfizmy $\flat \colon \operatorname {T} M\to \operatorname {T} ^{*}M$ oraz $\sharp \colon \operatorname {T} ^{*}M\to \operatorname {T} M.$ Są to izomorfizmy wiązek wektorowych, które dla każdego $p\in M$ dają odwrotne izomorfizmy przestrzeni liniowych między $\operatorname {T} _{p}M$ oraz $\operatorname {T} _{p}^{*}M.$

Izomorfizmy muzyczne mogą być także rozszerzone na wiązki $\bigotimes ^{k}\operatorname {T} M$ oraz $\bigotimes ^{k}\operatorname {T} ^{*}M.$ Należy przy tym zaznaczyć, który ze wskaźników ma być podniesiony lub opuszczony. Przykładowo niech dane będzie pole $(2,0)$-tensorowe $X=X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}.$ Podnosząc drugi wskaźnik uzyskuje się pole $(1,1)$-tensorowe $X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \partial _{k}.$

Ślad tensora poprzez metrykę

Niech dla danego pola $(2,0)$-tensorowego $X=X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}$ będzie określony ślad $X$ poprzez metrykę $g$ jako

$\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.$

Należy zauważyć, że definicja śladu jest niezależna od wyboru podnoszonego wskaźnika, gdyż tensor metryczny jest symetryczny.

Zobacz też

• dualność
• podnoszenie i opuszczanie wskaźników
• wiązka wektorowa
• bemol i krzyżyk o znakach oraz ♭ i ♯