Izomorfizm muzyczny

Izomorfizm muzyczny – w matematyce izomorfizm między wiązką styczną $TM$ a wiązką kostyczną $T^*M$ rozmaitości riemannowskiej $M$ określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Dyskusja

Niech $(M, g)$ oznacza rozmaitość riemannowską, zaś $\{\partial_i\}$ oznacza lokalny układ współrzędnych dla wiązki stycznej $\operatorname TM$ z dualnym do niego koukładem $\{\operatorname dx^i\}.$ Wówczas można wyrazić lokalnie metrykę riemannowską (która jest 2-kowariantnym polem tensorowym symetrycznym i dodatnio określone) jako $g = g_{ij} \operatorname dx^i \otimes \operatorname dx^j.$ Dla danego pola wektorowego $X = X^i \partial_i$ można zdefiniować jego bemol jako

$X^\flat := g_{ij} X^i \operatorname dx^j =: X_j \operatorname dx^j.$

Operację tę nazywa się „opuszczaniem wskaźnika”. Korzystając z tradycyjnej notacji nawiasów kątowych dla iloczynu skalarnego wyznaczonego przez $g$ otrzymuje się nieco bardziej przejrzysty związek

$X^\flat(Y) = \langle X, Y \rangle$

dla wszystkich wektorów $X$ oraz $Y.$

Alternatywnie, dla danego pola kowektorowego $\omega = \omega_i \operatorname dx^i$ można określić jego krzyżyk jako

$\omega^\sharp := g^{ij} \omega_i \partial_j,$

gdzie $g^{ij}$ są elementami macierzy odwrotnej do $g_{ij}.$ Branie krzyżyka pola kowektorowego nazywa się „podnoszeniem wskaźnika”.

Konstrukcja ta daje dwa wzajemnie odwrotne izomorfizmy $\flat\colon \operatorname TM \to \operatorname T^*M$ oraz $\sharp\colon \operatorname T^*M \to \operatorname TM.$ Są to izomorfizmy wiązek wektorowych, które dla każdego $p \in M$ dają odwrotne izomorfizmy przestrzeni liniowych między $\operatorname T_p M$ oraz $\operatorname T^*_pM.$

Izomorfizmy muzyczne mogą być także rozszerzone na wiązki $\bigotimes^k \operatorname TM$ oraz $\bigotimes ^k \operatorname T^*M.$ Należy przy tym zaznaczyć, który ze wskaźników ma być podniesiony lub opuszczony. Przykładowo niech dane będzie pole $(2,0)$-tensorowe $X = X_{ij} \operatorname dx^i \otimes \operatorname dx^j.$ Podnosząc drugi wskaźnik uzyskuje się pole $(1, 1)$-tensorowe $X^\sharp = g^{jk} X_{ij} \operatorname dx^i \otimes \partial _k.$

Ślad tensora poprzez metrykę

Niech dla danego pola $(2, 0)$-tensorowego $X = X_{ij} \operatorname dx^i \otimes \operatorname dx^j$ będzie określony ślad $X$ poprzez metrykę $g$ jako

$\operatorname{tr}_g(X) := \operatorname{tr}(X^\sharp) = \operatorname{tr}(g^{jk} X_{ij}) = g^{ji} X_{ij} = g^{ij}X_{ij}.$

Należy zauważyć, że definicja śladu jest niezależna od wyboru podnoszonego wskaźnika, gdyż tensor metryczny jest symetryczny.

Zobacz też

• dualność,
• podnoszenie i opuszczanie wskaźników
• wiązka wektorowa
• bemol i krzyżyk o znakach oraz ♭ i ♯.