Jądro (algebra)

Jądro – w algebrze, dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu $f$ jego jądro oznacza się zwykle $\mbox{ker } f$ (od ang. kernel)

Homomorfizm grupowy

Niech $f\colon G \to H$ będzie homomorfizmem grup. W teorii grup jądrem homomorfizmu $f$ nazywamy podgrupę $f^{-1}(e)$, gdzie $e$ jest elementem neutralnym działania w grupie $H$.

Homomorfizm $f\colon G \to H$ jest przekształceniem różnowartościowym (monomorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker f = \{e\}$.

Homomorfizm pierścieni

Niech $f\colon R \to S$ będzie homomorfizmem pierścieni. W teorii pierścieni jądrem homomorfizmu $f$ nazywa się podzbiór $f^{-1}(0)$, gdzie $0$ oznacza element neutralny w grupie addytywnej pierścienia $R$.

Przekształcenie liniowe

Niech $f\colon U \to V$ będzie przekształceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych) między przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K$. W algebrze liniowej jądrem przekształcenia liniowego $f$ nazywany jest przeciwobraz wektora zerowego, czyli podzbiór

$\left\{x \in U\colon f(x) = 0 \right\}$.

Własności

• $\ker f$ jest podprzestrzenią liniową dziedziny przekształcenia $f$,
• $\dim f = \dim \ker f + \dim \operatorname{im} f$, gdzie $\mbox{im } f$ oznacza obraz przekształcenia $f$,
• przekształcenie $f$ jest różnowartościowe $\iff \ker f = \{0\}$.