Jednokładność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Obraz trójkąta ABC w jednokładności
o środku O i skali 5/3
\ J_O^{5 \over 3}(\triangle ABC) = \triangle A_1B_1C_1

Jednokładność, homotetia (gr. homo+thetos=położony) o środku r i niezerowej skali k - odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni określone następująco:

  J_r^k(p)=q\quad \mbox{ gdzie }\vec{rq}=k\cdot\vec{rp}

Z definicji w szczególności wynika, że:

J_r^k(r) \,=\, r\,\!

Liczba k nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

Dla  k = 1 jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla  k = -1 jednokładność jest symetrią środkową o środku r. Każda jednokładność jest podobieństwem o skali  |k| . Dwie figury F_a i F_b są jednokładne, gdy istnieje punkt r i niezerowa skala k takie, że jednokładność przekształca figurę F_a na figurę F_b.

Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności.

Zbiór jednokładności o wspólnym środku r jest grupą, przy tym

  • złożenie jednokładności J_r^l\circ J_r^k jest jednokładnością J_r^{l\cdot k}
  • jednokładnością odwrotną do J_r^k jest J_r^{1/k}
  • jednością grupy jest tożsamość J_r^1

W przypadku złożenia dwóch jednokładności J_s^l, J_r^k o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:

  • jeśli k\cdot l=1, to J_s^l\circ J_r^k jest translacją T_{(1-l)\vec{rs}} tzn. translacją o wektor (1-l)\vec{rs}.
  • jeśli k\cdot l\ne1, to J_s^l\circ J_r^k jest jednokładnością J_{r+ \tfrac{1-l}{1-kl}\vec{rs}}^{k\cdot l}.

Ponadto dla jednokładności J_r^k, k\ne 1 i translacji T_{\bold{v}} o wektor \bold{v} zachodzi:

  • złożenie J_r^k\circ T_{\bold{v}} jest jednokładnością J_{r+\tfrac{k}{1-k}\bold{v}}^k
  • złożenie T_{\bold{v}}\circ J_r^k jest jednokładnością J_{r+\tfrac{1}{1-k}\bold{v}}^k

Oznacza to, że zbiór jednokładności wraz ze zbiorem translacji tworzy grupę przekształceń geometrycznych. Jest ona izomorficzna z grupą dylatacji.