Jednokładność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Obraz trójkąta $ABC$ w jednokładności
o środku $O$ i skali 5/3
$\ J_O^{5 \over 3}(\triangle ABC) = \triangle A_1B_1C_1$

Jednokładność, homotetia (gr. homo+thetos=położony) o środku $r$ i niezerowej skali $k$ - odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni określone następująco:

$J_r^k(p)=q\quad \mbox{ gdzie }\vec{rq}=k\cdot\vec{rp}$

Z definicji w szczególności wynika, że:

$J_r^k(r) \,=\, r\,\!$

Liczba $k$ nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

Dla $k = 1$ jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla $k = -1$ jednokładność jest symetrią środkową o środku $r$ . Każda jednokładność jest podobieństwem o skali $|k|$ . Dwie figury $F_a$ i $F_b$ są jednokładne, gdy istnieje punkt $r$ i niezerowa skala $k$ takie, że jednokładność przekształca figurę $F_a$ na figurę $F_b$ .

Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności.

Zbiór jednokładności o wspólnym środku $r$ jest grupą, przy tym

złożenie jednokładności $J_r^l\circ J_r^k$ jest jednokładnością $J_r^{l\cdot k}$
jednokładnością odwrotną do $J_r^k$ jest $J_r^{1/k}$
jednością grupy jest tożsamość $J_r^1$

W przypadku złożenia dwóch jednokładności $J_s^l, J_r^k$ o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:

jeśli $k\cdot l=1$ , to $J_s^l\circ J_r^k$ jest translacją $T_{(1-l)\vec{rs}}$ tzn. translacją o wektor $(1-l)\vec{rs}$ .
jeśli $k\cdot l\ne1$ , to $J_s^l\circ J_r^k$ jest jednokładnością $J_{r+ \tfrac{1-l}{1-kl}\vec{rs}}^{k\cdot l}$ .

Ponadto dla jednokładności $J_r^k, k\ne 1$ i translacji $T_{\bold{v}}$ o wektor $\bold{v}$ zachodzi:

złożenie $J_r^k\circ T_{\bold{v}}$ jest jednokładnością $J_{r+\tfrac{k}{1-k}\bold{v}}^k$
złożenie $T_{\bold{v}}\circ J_r^k$ jest jednokładnością $J_{r+\tfrac{1}{1-k}\bold{v}}^k$