Jednokładność

Obraz trójkąta $ABC$ w jednokładności
o środku $O$ i skali 5/3
$\ J_{O}^{5 \over 3}(\triangle ABC)=\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$

Jednokładność, homotetia (gr. homo+thetos=położony) o środku $r$ i niezerowej skali $k$ – odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, określone następująco:

$J_{r}^{k}(p)=q\quad {\mbox{ gdzie }}{\vec {rq}}=k\cdot {\vec {rp}}$

Z definicji w szczególności wynika, że:

$J_{r}^{k}(r)\,=\,r\,\!$

Liczba $k$ nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

Dla $k=1$ jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla $k=-1$ jednokładność jest symetrią środkową o środku $r$. Każda jednokładność jest podobieństwem o skali $|k|$. Dwie figury $F_{a}$ i $F_{b}$ są jednokładne, gdy istnieje punkt $r$ i niezerowa skala $k$ takie, że jednokładność przekształca figurę $F_{a}$ na figurę $F_{b}$.

Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności.

Zbiór jednokładności o wspólnym środku $r$ jest grupą, przy tym

• złożenie jednokładności $J_{r}^{l}\circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r}^{l\cdot k}$
• jednokładnością odwrotną do $J_{r}^{k}$ jest $J_{r}^{1/k}$
• jednością grupy jest tożsamość $J_{r}^{1}$

W przypadku złożenia dwóch jednokładności $J_{s}^{l},J_{r}^{k}$ o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:

• jeśli $k\cdot l=1$, to $J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}$ jest translacją $T_{(1-l){\vec {rs}}}$ tzn. translacją o wektor $(1-l){\vec {rs}}$.
• jeśli $k\cdot l\neq 1$, to $J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r+{\tfrac {1-l}{1-kl}}{\vec {rs}}}^{k\cdot l}$.

Ponadto dla jednokładności $J_{r}^{k},k\neq 1$ i translacji $T_{\mathbf {v}}$ o wektor ${\mathbf {v}}$ zachodzi:

• złożenie $J_{r}^{k}\circ T_{\mathbf {v}}$ jest jednokładnością $J_{r+{\tfrac {k}{1-k}}{\mathbf {v}}}^{k}$
• złożenie $T_{\mathbf {v}}\circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r+{\tfrac {1}{1-k}}{\mathbf {v}}}^{k}$

Oznacza to, że zbiór jednokładności wraz ze zbiorem translacji tworzy grupę przekształceń geometrycznych. Jest ona izomorficzna z grupą dylatacji.