Jednostka urojona

Jednostka albo jedność urojona (łac. imaginarius, „urojony, zmyślony”) – w matematyce ustalona liczba zespolona $\scriptstyle i,$ której druga potęga jest równa $\scriptstyle -1.$ Symbol $\mathrm i$ zaproponował w 1777 roku Leonhard Euler, a rozpropagował począwszy od 1801 roku Carl Friedrich Gauss. W fizyce i zastosowaniach inżynierskich jednostkę urojoną oznacza się literą $\mathrm j$

Interpretacje

Algebra abstrakcyjna

Z punktu widzenia algebry tworzące ciało liczby rzeczywiste $\scriptstyle \mathbb R,$ mimo swoich niewątpliwych zalet, są w pewien sposób niedoskonałe. Mianowicie nie są algebraicznie domknięte, tzn. istnieją wielomiany zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, które nie mają rzeczywistych rozwiązań (każdy taki wielomian można rozłożyć na czynniki liniowe i kwadratowe). Okazuje się, że dodając do $\scriptstyle \mathbb R$ pierwiastek kwadratowy z jedynki (zob. pierwiastkowanie), tj. jeden element oznaczający rozwiązanie równania

$x^2 + 1 = 0,$

otrzymuje się strukturę liczb zespolonych, która ma wszystkie dobre własności liczb rzeczywistych, w tym bycie ciałem, a ponadto jest algebraicznie domknięta.

Liczby zespolone można wprowadzić dodając formalnie do $\scriptstyle \mathbb R$ element $i$ spełniający warunek $\scriptstyle i^2 = -1.$ Rozpatruje się wtedy formalne liczby postaci $\scriptstyle a + bi,$ gdzie $\scriptstyle a, b \in \mathbb R$. Z własności działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych (przemienności i łączności dodawania oraz mnożenia, a także z rozdzielności mnożenia względem dodawania) wynikają wzory oraz wspomnianej własności elementu $\scriptstyle i$ wynikają wzory na

• dodawanie,

  $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,$

• mnożenie

  $(a + bi)(c + id) = (ac - bd) + (ad + bc)i.$

Dowodzi się, że tak określony zbiór formalnych liczb postaci $a + bi$ z wyżej wspomnianymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało, które nazywane jest ciałem liczb zespolonych.

Układ współrzędnych

Jednostka urojona i w układzie współrzędnych

Przełomem w nauce o liczbach zespolonych był tak zwany diagram Arganda – interpretacja geometryczna liczb zespolonych wprowadzona po raz pierwszy nie tyle przez Szwajcara Jeana Roberta Arganda, ile przez norweskiego geodetę-kartografa Duńskiej Akademii Nauk Caspara Wessela w jego jedynej pracy matematycznej Próba analitycznego przedstawienia kierunku i jego zastosowań, przede wszystkim w rozwiązywaniu wielokątów płaskich i sferycznych. Zamiarem Wessela było stworzenie aparatu służącego do rozwiązywania zadań geodezyjnych.

Bliska idei Wessela jest konstrukcja podana przez rosyjskiego matematyka Lwa Pontriagina, której ideę można streścić następująco:

• na płaszczyźnie wprowadza się układ współrzędnych kartezjańskich (zwykle przedstawia się ją jako prostopadłe osie liczbowe przecinające się w tzw. początku układu, przy czym oś odciętych skierowana jest od lewej do prawej, a oś rzędnych – od dołu do góry);
• tak jak liczbę rzeczywistą $r$ można utożsamiać z punktem $\scriptstyle \mathrm r$ o współrzędnej $\scriptstyle r$ na osi liczbowej, tak i liczbę zespoloną $\scriptstyle z = a + bi$ można utożsamiać z punktem $\scriptstyle \mathrm z$ o współrzędnych $\scriptstyle (a, b)$ płaszczyzny;
• jednostkę urojoną $\scriptstyle i$ można wtedy utożsamiać z punktem $\scriptstyle \mathrm i$ o współrzędnych $\scriptstyle (0,\ 1).$

Przestrzenie unitarne i euklidesowe

Każdy punkt płaszczyzny można utożsamić jednoznacznie z jego wektorem wodzącym zaczepionym w początku układu współrzędnych; z kolei każdy wektor wodzący można utożsamić z wektorem swobodnym przez niego wyznaczonym. Formalnie mówienie o wektorach wodzących możliwe jest w przestrzeniach liniowych, z kolei układ współrzędnych kartezjańskich wymaga iloczynu skalarnego, czyli tzw. przestrzeni unitarnej (przestrzeni liniowej euklidesowej). O wektorach swobodnych mówić można w obecności struktury afinicznej, która dodana do przestrzeni unitarnej czyni z niej tzw. przestrzeń euklidesową (przestrzeni afinicznej euklidesowej).

W dwuwymiarowej przestrzeni unitarnej bądź euklidesowej $\scriptstyle E^2$ ze standardowym iloczynem skalarnym jednostka urojona $\scriptstyle \mathbf i = [0, 1]$ jest prostopadła do jednostki rzeczywistej $\scriptstyle \mathbf 1 = [1, 0],$ przy czym oba te wektory tworzą bazę ortonormalną wspomnianej przestrzeni.

Algebra Clifforda

Dla jednowymiarowej przestrzeni liniowej $\scriptstyle \mathbb R \mathbf e$ nad ciałem liczb rzeczywistych rozpiętej na wektorze $\scriptstyle \mathbf e$ algebra Clifforda formy kwadratowej $\scriptstyle f\colon \mathbb R \mathbf e \times \mathbb R \mathbf e \to \mathbb R$ spełniającej $\scriptstyle f(\mathbf e,\, \mathbf e) = -1$ ma strukturę ciała liczb zespolonych (jest z nim izomorficzna), a $\scriptstyle \mathbf e$ jest w niej jednostką urojoną.

Uogólnienia

Konstrukcja ciała liczb zespolonych polegająca na wprowadzeniu jednostki urojonej do ciała liczb rzeczywistych zastosowana do ciała liczb zespolonych umożliwia tworzenie innych struktur tego rodzaju, które jednak nie tworzą ciał. Zupełnie analogicznie jak w przypadku zespolonym określając na parach uporządkowanych liczb zespolonych $\scriptstyle (z,\, t),\, (u,\, v)$ działania

• dodawania,

  $(z,\, t) + (u,\, v) = (z + u,\, t + v),$

• mnożenia,

  $(z,\, t) \cdot (u,\, v) = (zu - t\overline v,\, zv + t\overline u),$

otrzymuje się pierścień z dzieleniem kwaternionów będący czterowymiarową przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych rozpiętą na czterech wektorach

$\mathbf 1 = [1, 0], \quad \mathbf i = [i, 0], \quad \mathbf j = [0, 1] \quad \mbox{ oraz } \quad \mathbf k = [0, i],$

z których trzy ostatnie, spełniające $\scriptstyle \mathbf i^2 = \mathbf j^2 = \mathbf k^2 = -\mathbf 1,$ można traktować jako jednostki urojone. Podobnie źródłem wielu jednostek urojonych są algebry Clifforda.

Zobacz też

• lista stałych matematycznych
• wzór Eulera

Bibliografia

• Juszkiewicz A. P. (red.): Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia. T. 3. Warszawa: PWN, 1977.
• И. М. Яглом: Комплексные числа и их применение в геометрии. Москва: Едиториал УРСС, 2004.
• Lew Pontriagin: Metoda współrzędnych. Warszawa: WSiP, 1995. ISBN 83-02-05257-4.
• Dale Husemoller: Fibre bundles. New York St. Luis San Francisco Toronto London Sydney: McGraw-Hill Book Company, 1966.
• Gaston Casanova: ĽAlgèbre Vectorielle. Presses Universitaires de France, 1976.
• Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1968.