Kąty Eulera

Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera) — układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Definicja

Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych $Ox'y'z'$ można otrzymać z danego układu $Oxyz$ przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest w dużej mierze kwestią konwencji.

Załóżmy na razie, że osie $z$ i $z'$ nie są równoległe, a zatem płaszczyzna $Ozz'$ jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś $z$ na oś $z'$, jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów $w$, tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny $Ozz'$ w punkcie $O$. Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi $z$ i $z'$, jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny $Oxy$ i $Ox'y'$. Tak więc układ $Oxyz$ można nałożyć na $Ox'y'z'$, dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

1. obrotu wokół osi $z$, takiego aby oś $x$ pokryła się z linią węzłów $w$
2. obrotu wokół osi $x$ ($=w$), takiego aby oś $z$ pokryła się z osią $z'$
3. obrotu wokół osi $z$ ($=z'$), takiego aby oś $x$ pokryła się z osią $x'$ (wówczas również oś $y$ pokryje się z osią $y'$).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o $\pi$) prowadzące do ustawienia osi $x$ wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi $z$ i $z'$ $e_z \times e_z'$ (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu $(0,\pi)$.

Poszczególne kąty Eulera $(\varphi,\psi,\theta)$ parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

• $\phi$ — kąt mierzony od osi $x$ do osi węzłów $w$ w kierunku wyznaczonym osią $z$; jest to kąt obrotu 1.
• $\psi$ — kąt mierzony od osi węzłów $w$ do osi $x'$ w kierunku wyznaczonym osią $z'$; jest to kąt obrotu 3.
• $\theta$ — kąt mierzony od osi $z$ do $z'$ w kierunku wyznaczonym osią węzłów $w$; jest to kąt obrotu 2.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi $z$, można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów $(\varphi,\psi,\theta) \in [0,2\pi)\times[0,2\pi)\times(0,\pi)$.

Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie $z$ i $z'$ są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna $Ozz'$ i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś $z$ można przekształcić na oś $z'$ w wyniku obrotu (o kąt $0$ lub $\pi$, zależnie od zwrotu osi $z'$) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt $O$ i leżącej w płaszczyźnie $Oxy = Ox'y'$. Mamy zatem $\theta=0$ lub $\theta=\pi$, a ustawienie osi $x'$, $y'$ jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów $\varphi$ i $\psi$.

Związek z macierzą obrotu

Macierze obrotów 1., 2. i 3. mają we współrzędnych $(x,y,z)$ postaci:

$A_1 = \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix},\qquad A_3 = \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0\\ -\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu $Oxyz$ do $Ox'y'z'$ przedstawia się następująco:

$A = A_3 A_2 A_1 = \begin{bmatrix} \cos\varphi\cos\psi - \sin\varphi\sin\psi\cos\theta & \sin\varphi\cos\psi + \cos\varphi\sin\psi\cos\theta & \sin\psi\sin\theta\\ -\cos\varphi\sin\psi - \sin\varphi\cos\psi\cos\theta & -\sin\varphi\sin\psi + \cos\varphi\cos\psi\cos\theta & \cos\psi\sin\theta\\ \sin\varphi\sin\theta & -\cos\varphi\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}.$

Jest to macierz ortogonalna o wyznaczniku równym jedności.

Bibliografia

Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna. PWN, Warszawa 1975.