Kąty Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera) — układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych Ox'y'z' można otrzymać z danego układu Oxyz przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest w dużej mierze kwestią konwencji.

Załóżmy na razie, że osie z i z' nie są równoległe, a zatem płaszczyzna Ozz' jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś z na oś z', jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów w, tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny Ozz' w punkcie O. Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi z i z', jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny Oxy i Ox'y'. Tak więc układ Oxyz można nałożyć na Ox'y'z', dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

  1. obrotu wokół osi z, takiego aby oś x pokryła się z linią węzłów w
  2. obrotu wokół osi x (=w), takiego aby oś z pokryła się z osią z'
  3. obrotu wokół osi z (=z'), takiego aby oś x pokryła się z osią x' (wówczas również oś y pokryje się z osią y').

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o \pi) prowadzące do ustawienia osi x wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi z i z'  e_z \times e_z' (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu (0,\pi).

Poszczególne kąty Eulera (\varphi,\psi,\theta) parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

  • \phi — kąt mierzony od osi x do osi węzłów w w kierunku wyznaczonym osią z; jest to kąt obrotu 1.
  • \psi — kąt mierzony od osi węzłów w do osi x' w kierunku wyznaczonym osią z'; jest to kąt obrotu 3.
  • \theta — kąt mierzony od osi z do z' w kierunku wyznaczonym osią węzłów w; jest to kąt obrotu 2.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi z, można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów (\varphi,\psi,\theta) \in [0,2\pi)\times[0,2\pi)\times(0,\pi).

Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie z i z' są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna Ozz' i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś z można przekształcić na oś z' w wyniku obrotu (o kąt 0 lub \pi, zależnie od zwrotu osi z') wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt O i leżącej w płaszczyźnie Oxy = Ox'y'. Mamy zatem \theta=0 lub \theta=\pi, a ustawienie osi x', y' jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów \varphi i \psi.

Związek z macierzą obrotu[edytuj | edytuj kod]

Macierze obrotów 1., 2. i 3. mają we współrzędnych (x,y,z) postaci:


A_1 = \begin{bmatrix}
\cos\varphi  & \sin\varphi & 0\\
-\sin\varphi & \cos\varphi  & 0\\
    0     &     0    & 1
\end{bmatrix},\qquad
A_2 = \begin{bmatrix}
1 &      0      &     0 \\
0 &  \cos\theta & \sin\theta \\
0 & -\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix},\qquad
A_3 = \begin{bmatrix}
\cos\psi   &  \sin\psi & 0\\
-\sin\psi  &  \cos\psi & 0\\
     0        &        0     & 1
\end{bmatrix},

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu Oxyz do Ox'y'z' przedstawia się następująco:


A = A_3 A_2 A_1 = \begin{bmatrix}
\cos\varphi\cos\psi - \sin\varphi\sin\psi\cos\theta  &
   \sin\varphi\cos\psi + \cos\varphi\sin\psi\cos\theta   & \sin\psi\sin\theta\\
-\cos\varphi\sin\psi - \sin\varphi\cos\psi\cos\theta &
   -\sin\varphi\sin\psi + \cos\varphi\cos\psi\cos\theta  & \cos\psi\sin\theta\\
\sin\varphi\sin\theta &      -\cos\varphi\sin\theta      & \cos\theta
\end{bmatrix}.

Jest to macierz ortogonalna o wyznaczniku równym jedności.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]