k-przestrzeń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

k-przestrzeń - w topologii ogólnej, przestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950[1] David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią - odpowiedni kontrprzykład[2] podał Clifford Hugh Dowker.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń Hausdorffa X jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru A\subseteq X potrzeba i wystarcza, aby przecięcie A z każdym zwartym podzbiorem X było domknięte (lub równoważnie - zwarte).
  • Przestrzeń Hausdorffa X jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru A\subseteq X potrzeba i wystarcza, aby przecięcie A z każdym zwartym podzbiorem X było otwarte.
  • Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią.
  • Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami.
  • Suma \bigoplus_{s\in S}X_s jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy X_s jest k-przestrzenią dla każdego s\in S.
  • Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.

k-rozszerzenia[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii \tau nazywamy rodzinę podzbiorów U zbioru X takich, że U\cap K\in \tau dla każdego zbioru zwartego K\subseteq X. Rodzina k(\tau) jest również topologią w zbiorze X. Przestrzeń X z topologią k(\tau) oznacza się symbolem kX i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni X. W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni:

  • topologia k(\tau) jest mocniejsza od wyjściowej topologii \tau,
  • kkX=kX (zob. idempotentność),
  • Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy kX=X[3].

k-ciągłość[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję f\colon X\to Y nazywamy k-ciągłą, gdy f|_K jest ciągła dla każdego zbioru zwartego K\subseteq X. Jeśli symbole C(X,Y) i C_k(X,Y) oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami X i Y, to

  • X jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy C(X,Y)=C_k(X,Y) dla każdej przestrzeni topologicznej Y[4].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3},\ldots\} (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.

k3-przestrzenie[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń topologiczna X nazywana jest k3-przestrzenią, gdy C(X,Y)=C_k(X,Y) dla każdej przestrzeni regularnej Y. Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k3-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k3-przestrzenią.

Przypisy

  1. David Gale: Compact sets o functions and function rings. Proc. Amer. Soc. 1, 1950, s. 303-308.
  2. Clifford Hugh Dowker: Topology of metric complexes. Amer. Journ. of Math. 74, 1952, s. 555-577.
  3. D.E. Cohen, Spaces with weak topology, Quart. J. Math., Oxford Ser. (2) 5 ( 1954), 77-80
  4. Pedro Morales, Non-Hausdorff Ascoli theory, Dissertationes Math. 119 (1974), 1-37

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 198-200.