k-przestrzeń

k-przestrzeń - w topologii ogólnej, przestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950 David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią - odpowiedni kontrprzykład podał Clifford Hugh Dowker.

Własności

• Przestrzeń Hausdorffa $X$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru $A\subseteq X$ potrzeba i wystarcza, aby przecięcie $A$ z każdym zwartym podzbiorem $X$ było domknięte (lub równoważnie - zwarte).
• Przestrzeń Hausdorffa $X$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru $A\subseteq X$ potrzeba i wystarcza, aby przecięcie $A$ z każdym zwartym podzbiorem $X$ było otwarte.
• Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią.
• Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami.
• Suma $\bigoplus_{s\in S}X_s$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy $X_s$ jest k-przestrzenią dla każdego $s\in S$.
• Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.

k-rozszerzenia

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii $\tau$ nazywamy rodzinę podzbiorów $U$ zbioru $X$ takich, że $U\cap K\in \tau$ dla każdego zbioru zwartego $K\subseteq X$. Rodzina $k(\tau)$ jest również topologią w zbiorze $X$. Przestrzeń $X$ z topologią $k(\tau)$ oznacza się symbolem $kX$ i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni $X$. W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni:

• topologia $k(\tau)$ jest mocniejsza od wyjściowej topologii $\tau$,
• $kkX=kX$ (zob. idempotentność),
• Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy $kX=X$.

k-ciągłość

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję $f\colon X\to Y$ nazywamy k-ciągłą, gdy $f|_K$ jest ciągła dla każdego zbioru zwartego $K\subseteq X$. Jeśli symbole $C(X,Y)$ i $C_k(X,Y)$ oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami $X$ i $Y$, to

• $X$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy $C(X,Y)=C_k(X,Y)$ dla każdej przestrzeni topologicznej $Y$.

Przykłady

• $\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3},\ldots\}$ (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.

k₃-przestrzenie

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywana jest k₃-przestrzenią, gdy $C(X,Y)=C_k(X,Y)$ dla każdej przestrzeni regularnej $Y$. Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k₃-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k₃-przestrzenią.

Bibliografia

1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 198-200.