Kapitalizacja odsetek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kapitalizacja odsetek – dopisywanie narosłych odsetek do kapitału; powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane[1]. Okres, po jakim narosłe odsetki są dopisywane do kapitału, jest nazywany okresem kapitalizacji.

Wzór[edytuj | edytuj kod]

W przypadku oprocentowania składanego wartość kapitału końcowego, otrzymanego w wyniku kapitalizacji odsetek generowanych przez zainwestowany kapitał początkowy, można wyrazić wzorem:

V = V_0 \cdot \left( 1 + \frac{r}{m} \right) ^{mn}

gdzie

  • V_0 – kapitał początkowy,
  • V – kapitał końcowy,
  • m – liczba kapitalizacji w roku (np. m = 2 jeśli kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, m = 4 jeśli kapitalizacja odsetek następuje co kwartał),
  • n – czas trwania inwestycji (zakładamy, że jest wielokrotnością okresów kapitalizacji),
  • rnominalna stopa procentowa.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Depozyt 1000 PLN oprocentowany na 6%, złożony na rok przy kapitalizacji półrocznej, da w dacie zapadalności wypłatę 1060,90 PLN, co wynika z następującego wyliczenia:

1000\ \mathrm{PLN} \cdot \left( 1 + \frac{0{,}06}{2} \right)^2 = 1060{,}90\ \mathrm{PLN}

Zmiana okresu kapitalizacji na miesięczny pozwala otrzymać wypłatę 1061,68 PLN, zgodnie z następującym wyliczeniem:

1000\ \mathrm{PLN} \cdot \left( 1+ \frac{0{,}06}{12} \right)^{12} = 1061{,}68\ \mathrm{PLN}

Skracanie okresu kapitalizacji zwiększa kwotę wypłaty, jednakże wzrost ten jest ograniczony. Maksymalną możliwą kwotę odsetek można uzyskać przy kapitalizacji ciągłej, czyli takiej, w której okres kapitalizacji zbiega do 0. Przy stopie procentowej r każda zainwestowana złotówka może dać w horyzoncie roku maksymalnie wypłatę równą e^r, gdzie e oznacza podstawę logarytmu naturalnego, gdyż

 \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^r

W powyższym przykładzie maksymalna wartość wypłaty wynosi zatem

1000\ \mathrm{PLN} \cdot e^{0{,}06} = 1061{,}84\ \mathrm{PLN}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Podgórska M., Klimkowska J.: Matematyka finansowa. Warszawa, PWN 2005.