Układ współrzędnych kartezjańskich

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat[1]). Cechy takiego układu ma też znana od czasów starożytnych szachownica czy pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

  • punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą O lub cyfrą 0.
  • zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
    • X (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
    • Y (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

Współrzędne[edytuj | edytuj kod]

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu P:

  1. Tworzymy rzut prostokątny punktu P na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez P i prostopadłą do k-tej osi a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
  2. Wartość w uzyskanym punkcie osi jest k-tą współrzędną P.

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

Właśnie ze sposobu wyznaczania współrzędnych punktu (poprzez rzut prostokątny) kartezjański układ współrzędnych zyskał również nazwę prostokątnego układu współrzędnych używanego przede wszystkim w szkołach.

Ćwiartki i oktanty[edytuj | edytuj kod]

Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich.

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery nieskończone obszary nazywane ćwiartkami, z których każdy ograniczony jest dwoma półosiami. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza liczbami rzymskimi: I (+,+), II (−,+), III (−,−) oraz IV (+,−), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Jeżeli osie kreślone są zgodnie ze zwyczajem matematycznym, to numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem obszarów nazywanych czasami oktantami, zgodnie ze znakami współrzędnych punktów. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie nazywany jest niekiedy pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej nomenklatury dotyczącej pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywa się ortantem.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi OX do OY, to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi OZ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Przypisy

  1. Wielcy matematycy, hasło : Pierre Fermat (1601 - 1665) "(...) Powszechnie za twórcę geometrii analitycznej, której metoda polega na wprowadzeniu układu współrzędnych i zastosowaniu algebraicznych równań do badania własności figur geometrycznych, uważa się Rene Descartesa. Tymczasem okazuje się, że już w 1636 Fermat w swej pracy, której nie wydał drukiem, gdyż nie lubił tego czynić, wprowadził metodę prostokątnego układu współrzędnych, wykazał on, że równaniom pierwszego stopnia odpowiadają proste, a równaniom drugiego stopnia : elipsy, hiperbole, parabole i inne linie, które można otrzymać z przecięcia stożka płaszczyzną (tzw. stożkowe)." Praca zbiorowa "Mały słownik matematyczny" Warszawa 1975 str. 68 "Fermat dokonał wielu ważnych odkryć w teorii liczb (twierdzenia Fermata), jeszcze przed Descartem opracował w sposób systematyczny metodę współrzędnych w geometrii." (cyt. za Słownik Matematyczny)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]