Kategoria Lusternika-Sznirelmanna

Rys historyczny

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została zdefiniowana na początku lat trzydziestych XX wieku przez dwóch matematyków rosyjskich: Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana. Posłużyła im ona do udowodnienia słynnego twierdzenie Lusternika-Sznirelmanna szacującego z dołu ilość punktów krytycznych rzeczywistych funkcji gładkich określonych na gładkich rozmaitościach.

Definicja

Kategorią Lusternika-Sznirelmanna zbioru $A\subseteq X$ w przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy najmniejszą taką liczbę naturalną $n$ (o ile istnieje), że

$A\subseteq\bigcup_{i=0}^{n} U_i,$

gdzie każdy zbiór $U_i$ jest otwarty i ściągalny w $X$. Stosujemy przy tym oznaczenie

$cat_XA=n$

Jeśli takie $n$ nie istnieje, to przyjmujemy $cat_XA=\infty$.

Ponadto $cat_XX$ oznaczamy $cat X$ i nazywamy po prostu kategorią przestrzeni $X$.

Pokrycie $U_0,...,U_n$ nazywamy wtedy kategoryjnym.

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotne zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych, ale jak się okaże obie kategorie są równe dla dosyć sporej klasy przestrzeni topologicznych.

Podstawowe własności

Wprost z definicji kategorii wynika, że ma ona następujące własności:

• $cat_XA=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest ściągalny w $X$;

• $cat X=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest ściągalna;

• jeśli $A\subseteq B$, to $cat_X A\le cat_X B$;

• $cat_X(A\cup B)\le cat_XA+cat_XB+1$;

• $cat(A\cup B)\le cat A+cat B+1$, o ile $A,B$ są otwarte w $A\cup B$;

• jeśli $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem, to $cat_XA=cat_Yf(A)$;

dla $A,B\subseteq X$.

Przykłady

$cat\mathbb S^n=1$ dla każdego $n\in\mathbb N$, gdyż sfery nie są ściągalne, a każdą można przedstawić w postaci sumy $\mathbb S^n\backslash \{x_1\}\cup\mathbb S^n\backslash \{x_2\}$, gdzie $x_1\neq x_2$.

W podobny bardzo łatwy sposób można pokazać, że bukiet dowolnej ilości sfer, z których każda ma wymiar dodatni całkowity ma kategorię równą 1.

Powyższe rozważania można uogólnić na produkt złączony szerszej klasy przestrzeni topologicznych. Mianowicie jeśli $X$ oraz $Y$ są normalnymi, łukowo spójnym przestrzeniami z niezdegenerowanymi punktami bazowymi, to

$cat (X\vee Y)=\max\{cat X, cat Y\}$.

$cat\mathbb{T}^{n}=n$, gdzie $\mathbb T^n$ oznacza n-wymiarowy torus. W jedną stronę jest to trywialne. Niech $x_0,...,x_n$ będą różnymi punktami sfery $\mathbb S^1$. Wtedy

$\mathbb T^n=\bigcup_{i=0}^n (\mathbb S^1\backslash \{x_i\})^n$,

a każdy z tych zbiorów jest ściągalny jako homeomorficzny z $(0;1)^n$, co daje nierówność $cat\mathbb{T}^n\leq n$.

Przykładem przestrzeni mającej nieskończoną kategorię jest dowolna nieskończona przestrzeń dyskretna. Natomiast mogą istnieć przestrzenie, których kategoria jest nieskończona bo nie mają one otwartego pokrycia zbiorami ściągalnymi. Przykładem takiej przestrzeni jest pawie oczko, tj. suma okręgów stycznych wewnętrznie w punkcie $(0,0)$ o promieniach równych $\frac{1}{n}$ dla $n\in\mathbb N^+$. Wtedy każdy zbiór otwarty zawierający punkt $(0,0)$ nie może być ściągalny, gdyż zawiera nieskończenie wiele wspomnianych okręgów.

Ponadto mamy:

$cat \mathbb{R}P^n=n$

$cat\ \mathbb{C}P^n=n$.

Homotopijna niezmienniczość

Kategoria Lusternika-Szniremanna jest niezmiennikiem homotopijnym co wynika wprost z następującego twierdzenia:

Jeśli przestrzeń topologiczna $X$ homotopijnie dominuje nad $Y$, to $cat X\ge cat Y$.

Dowód:

Niech $U_0,U_1,...,U_n$ będzie pokryciem kategoryjnym przestrzeni X. Skoro X dominuje nad Y, to istnieją takie odwzorowania ciągłe $f:X\to Y$ oraz $g: Y\to X$, że $fg\simeq id_Y$. Zbiory $U_i$ są ściągalne w X dla $i=0,1,...,n$ zatem dla każdego i istnieje homotopia

$\varphi_i: U_i\times I\to X$

taka, że $\varphi_i(x,0)=x$ oraz $\varphi_i(x,1)=a_i$ dla pewnego $a_i\in X$. Niech teraz $V_i=g^{-1}(U_i)$ dla $i=0,1,...,n$. Zbiory $V_i$ są otwarte w Y oraz $\bigcup\limits_{i=1}^n V_i=Y$. Wystarczy więc pokazać, że są one ściągalne w Y. Ponieważ $fg\simeq id_Y$, to istnieje homotopia

$H: Y\times I\to Y$

taka, że $H(y,0)=y$ oraz $H(y,1)=fg(y)$ dla każdego $y\in Y$. Zdefiniujmy teraz dla każdego $i=0,1,...,n$ funkcję $G_i: V_i\times I\to Y$ następująco

$G_i(y,t)=\begin{cases} H(y,2t) & \textrm{dla\ } y\in V_i, 0\le t\leq\frac{1}{2},\\ f\varphi_i[g(y),2t-1] & \textrm{dla\ } y\in V_i, \frac{1}{2}\le t\le 1. \end{cases}$

Funkcja ta jest ciągła oraz zauważmy, że $G_i(y,0)=y$ i $G_i(y,1)=f(a_i)$ dla każdego $y\in V_i$ oraz $i=0,1,...,n$. Tak więc funkcje $G_i$ ustalają ściągnięcie $V_i$ w $Y$, zatem $V_0, V_1,...,V_n$ jest otwartym pokryciem przestrzeni Y zbiorami ściągalnymi w Y. Z tego mamy, że $cat X\geq cat Y$.

Rzeczy przydatne do obliczania

Jedną z podstawowych technik służącą do obliczania kategorii jest stosowanie tzw. ciągów kategoryjnych tj. ciąg otwartych podzbiorów przestrzeni X $A_0,...,A_k$ nazywamy kategoryjnym długości dla zbioru otwartego $U\subseteq X$ jeśli

1) $A_k=U$,

2) $A_0\subseteq A_1\subseteq ... \subseteq A_k$

3) zbiory $A_0,A_1\backslash A_0,...,A_k\backslash A_0$ są zawarte w pewnych otwartych i ściągalnych w $X$ zbiorach.

Zachodzi przy tym twierdzenie

Jeśli $X$ jest łukowo spójna oraz $U\subseteq X$ jest otwarty, to zbiór U posiada otwarty ciąg kategoryjny w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $cat_XU\leq k$.

Często przy obliczaniu kategorii przydatne są grupy kohomologii singularnych danej przestrzeni. Wykorzystuje się tzw. długość kohomoligczną przestrzeni topologcznej, którą definiujemy jako największą liczbę naturalną taką, że istnieją $a_0,...,a_n\in H^*(X,P)$ takie, że

$a_0\smile...\smile a_n\neq 0$. I stosujemy oznaczenie $cuplong_PX=n$.

Mamy przy tym twierdzenie:

Dla dowolnego pieścienia przemiennego z jedynką P zachodzi $cat X\geq cuplong_PX$.

Stąd przykładowo natychmiast otrzymujemy oszacowanie z dołu kategorii n-wymiarowego torusa.

Związki z wymiarem oraz iloczynem

Niektóre związki kategorii z wymiarem oraz iloczynem kartezjańskim można zawrzeć w następującach twierdzeniach:

Jeśli $X,Y$ są łukowo spójne oraz takie, że $X\times Y$ jest T_5 (tj. każda podprzestrzeń $X\times Y$ jest normalna), to $cat X\times Y\le cat X+cat Y$.

Jeśli $X$ jest łukowo spójną, ośrodkową przestrzenią metryczną oraz $cat X<\infty$, to

$cat X\leq \dim X$.

Analogiczne twierdzenie zachodzi jeśli X jest łukowo spójna oraz parazwarta.

Zastosowania

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna ma zastosowania w topologii algebraicznej, różniczkowej oraz w geometrii różniczkowej. Jest stosowana m.in. przy badaniu geodezyjnych zamkniętych. Jednak jej chyba najważniejszym zastosowaniem jest szacowanie z dołu ilości punktów krytycznych na gładkich i zwartych rozmaitościach. Mianowicie jeśli M jest gładką i zwartą rozmaitością, a $f:M\to \mathbb{R}$ funkcją klasy $C^1$, to

$\overline{\overline{Crit f}}\geq cat X+1,$

gdzie $Crit f$ oznacza zbiór punktów krytycznych funkcji $f$.

Pewne modyfikacje

Kategoria domknięta

Jak zostało wspomniane na początku kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotnie zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych. Jeżeli w definicji kategorii zbiory otwarte zamienimy na domknięte, to otrzymamy definicję kategorii domkniętej, którą oznaczamy $cat^{cl}$

Podobnie jak w przypadku zwykłej kategorii także domknięta jest niezmiennkiem homotopijnym (dowód jest analogiczny).

Ponadto dla normalnych absolutnych retraktów otoczeniowych obie kategorie są równę. A więc i dla przestrzeni mających typ homotopii ANR-a (w szczególności dla CW-kompleksów).

Kategoria geometryczna

W definicji kategorii o zbiorach otwartych zakładamy, że są one ściągalne w przestrzeni w której liczymy kategorię. Można się zastanawiać dlaczego by nie rozważać definicji, w której o zbiorach będziemy zakładać, że są ściągalne w sobie.Taką kategorię nazywamy geometryczną i oznaczamy $gcat$.

Jednak taka kategoria ma dużą wadę, mianowicie nie jest niezmennikiem homotopijnym. Jako przykład przyjmijmy $X=\mathbb{S}^2\vee\mathbb{S}^1\vee\mathbb{S}^1$, a za Y sferę $\mathbb{S}^2$ ze zidentyfikowanymi trzema różnymi punktami. Oczywiście obie przestrzenie są homotopijnie równoważne, lecz $gcat X=1$, podczas gdy $gcat Y=2$.

Bibliografia

• R. H. Fox, On the Lusternik-Schnirelmann category, Annals of Mathematics 42 (1941), 333-370.
• Samuel Eilenberg, Tudor Ganea, On the Lusternik-Schnirelmann category of abstract groups, Annals of Mathematics, 2nd Ser., 65 (1957), no. 3, 517 – 518
• F. Takens, The minimal number of critical points of a function on compact manifolds and the Lusternik-Schnirelmann category, Inventiones Mathematicae 6 (1968), 197-244.
• Tudor Ganea, Some problems on numerical homotopy invariants, Lecture Notes in Math. 249 (Springer, Berlin, 1971), pp. 13 – 22 MR0339147
• Ioan James, On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann, Topology 17 (1978), 331-348.
• Kathryn Hess, A proof of Ganea's conjecture for rational spaces, Topology 30 (1991), no. 2, 205--214. MR1098914
• Norio Iwase, "Ganea's conjecture on Lusternik-Schnirelmann category", in Bulletin of the London Mathematical Society, 30 (1998), no.6, 623 – 634 MR1642747
• Norio Iwase, A_∞-method in Lusternik-Schnirelmann category, Topology 41 (2002), no. 4, 695--723. MR1905835
• Lucile Vandembroucq, Fibrewise suspension and Lusternik-Schnirelmann category, Topology 41 (2002), no. 6, 1239--1258. MR1923222
• Octav Cornea, Gregory Lupton, John Oprea, Daniel Tanré, Lusternik-Schnirelmann category, Mathematical Surveys and Monographs, 103. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003 ISBN 0-8218-3404-5