Kategoria Lusternika-Sznirelmanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została zdefiniowana na początku lat trzydziestych XX wieku przez dwóch matematyków rosyjskich: Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana. Posłużyła im ona do udowodnienia słynnego twierdzenie Lusternika-Sznirelmanna, szacującego z dołu liczbę punktów krytycznych rzeczywistych funkcji gładkich określonych na gładkich rozmaitościach.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Kategorią Lusternika-Sznirelmanna zbioru A\subseteq X w przestrzeni topologicznej X nazywamy najmniejszą taką liczbę naturalną n (o ile istnieje), że:

A\subseteq\bigcup_{i=0}^{n} U_i,

gdzie każdy zbiór U_i jest otwarty i ściągalny w X. Stosujemy przy tym oznaczenie

cat_XA=n

Jeśli takie n nie istnieje, to przyjmujemy cat_XA=\infty.

Ponadto cat_XX oznaczamy cat X i nazywamy po prostu kategorią przestrzeni X.

Pokrycie U_0,...,U_n nazywamy wtedy kategoryjnym.

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotne zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych, ale jak się okaże obie kategorie są równe dla dosyć sporej klasy przestrzeni topologicznych.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Wprost z definicji kategorii wynika, że ma ona następujące własności:

  • cat_XA=0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest ściągalny w X;
  • cat X=0 wtedy i tylko wtedy, gdy X jest ściągalna;
  • jeśli A\subseteq B, to cat_X A\le cat_X B;
  • cat_X(A\cup B)\le cat_XA+cat_XB+1;
  • cat(A\cup B)\le cat A+cat B+1, o ile A,B są otwarte w A\cup B;
  • jeśli f:X\to Y jest homeomorfizmem, to cat_XA=cat_Yf(A);

dla A,B\subseteq X.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

cat\mathbb S^n=1 dla każdego n\in\mathbb N, gdyż sfery nie są ściągalne, a każdą można przedstawić w postaci sumy \mathbb S^n\backslash \{x_1\}\cup\mathbb S^n\backslash \{x_2\}, gdzie x_1\neq x_2.

W podobny bardzo łatwy sposób można pokazać, że bukiet dowolnej ilości sfer, z których każda ma wymiar dodatni całkowity ma kategorię równą 1.

Powyższe rozważania można uogólnić na produkt złączony szerszej klasy przestrzeni topologicznych. Mianowicie jeśli X oraz Y są normalnymi, łukowo spójnym przestrzeniami z niezdegenerowanymi punktami bazowymi, to:

cat (X\vee Y)=\max\{cat X, cat Y\}.

cat\mathbb{T}^{n}=n, gdzie \mathbb T^n oznacza n-wymiarowy torus. W jedną stronę jest to trywialne. Niech x_0,...,x_n będą różnymi punktami sfery \mathbb S^1. Wtedy

\mathbb T^n=\bigcup_{i=0}^n (\mathbb S^1\backslash \{x_i\})^n,

a każdy z tych zbiorów jest ściągalny jako homeomorficzny z (0;1)^n, co daje nierówność cat\mathbb{T}^n\leq n.

Przykładem przestrzeni mającej nieskończoną kategorię jest dowolna nieskończona przestrzeń dyskretna. Natomiast mogą istnieć przestrzenie, których kategoria jest nieskończona bo nie mają one otwartego pokrycia zbiorami ściągalnymi. Przykładem takiej przestrzeni jest pawie oczko, tj. suma okręgów stycznych wewnętrznie w punkcie (0,0) o promieniach równych \frac{1}{n} dla n\in\mathbb N^+. Wtedy każdy zbiór otwarty zawierający punkt (0,0) nie może być ściągalny, gdyż zawiera nieskończenie wiele wspomnianych okręgów.

Ponadto mamy:

cat \mathbb{R}P^n=n

cat\ \mathbb{C}P^n=n.

Homotopijna niezmienniczość[edytuj | edytuj kod]

Kategoria Lusternika-Szniremanna jest niezmiennikiem homotopijnym co wynika wprost z następującego twierdzenia:

Jeśli przestrzeń topologiczna X homotopijnie dominuje nad Y, to cat X\ge  cat Y.

Dowód:

Niech U_0,U_1,...,U_n będzie pokryciem kategoryjnym przestrzeni X. Skoro X dominuje nad Y, to istnieją takie odwzorowania ciągłe f:X\to Y oraz g: Y\to X, że fg\simeq id_Y. Zbiory U_i są ściągalne w X dla i=0,1,...,n zatem dla każdego i istnieje homotopia

\varphi_i: U_i\times I\to X

taka, że \varphi_i(x,0)=x oraz \varphi_i(x,1)=a_i dla pewnego a_i\in X. Niech teraz V_i=g^{-1}(U_i) dla i=0,1,...,n. Zbiory V_i są otwarte w Y oraz \bigcup\limits_{i=1}^n V_i=Y. Wystarczy więc pokazać, że są one ściągalne w Y. Ponieważ fg\simeq id_Y, to istnieje homotopia

H: Y\times I\to Y

taka, że H(y,0)=y oraz H(y,1)=fg(y) dla każdego y\in Y. Zdefiniujmy teraz dla każdego i=0,1,...,n funkcję G_i: V_i\times I\to Y następująco

G_i(y,t)=\begin{cases}
H(y,2t) & \textrm{dla\ } y\in V_i, 0\le t\leq\frac{1}{2},\\
f\varphi_i[g(y),2t-1] & \textrm{dla\ } y\in V_i, \frac{1}{2}\le t\le 1.
\end{cases}

Funkcja ta jest ciągła oraz zauważmy, że G_i(y,0)=y i G_i(y,1)=f(a_i) dla każdego y\in V_i oraz i=0,1,...,n. Tak więc funkcje G_i ustalają ściągnięcie V_i w Y, zatem V_0, V_1,...,V_n jest otwartym pokryciem przestrzeni Y zbiorami ściągalnymi w Y. Z tego mamy, że cat X\geq cat Y.

Rzeczy przydatne do obliczania[edytuj | edytuj kod]

Jedną z podstawowych technik służącą do obliczania kategorii jest stosowanie tzw. ciągów kategoryjnych tj. ciąg otwartych podzbiorów przestrzeni X A_0,...,A_k nazywamy kategoryjnym długości dla zbioru otwartego U\subseteq X, jeśli:

1) A_k=U,

2) A_0\subseteq A_1\subseteq ... \subseteq A_k

3) zbiory A_0,A_1\backslash A_0,...,A_k\backslash A_0 są zawarte w pewnych otwartych i ściągalnych w X zbiorach.

Zachodzi przy tym twierdzenie:

Jeśli X jest łukowo spójna oraz U\subseteq X jest otwarty, to zbiór U posiada otwarty ciąg kategoryjny w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy cat_XU\leq k.

Często przy obliczaniu kategorii przydatne są grupy kohomologii singularnych danej przestrzeni. Wykorzystuje się tzw. długość kohomoligczną przestrzeni topologcznej, którą definiujemy jako największą liczbę naturalną taką, że istnieją a_0,...,a_n\in H^*(X,P) takie, że:

a_0\smile...\smile a_n\neq 0. I stosujemy oznaczenie cuplong_PX=n.

Mamy przy tym twierdzenie:

Dla dowolnego pieścienia przemiennego z jedynką P zachodzi cat X\geq cuplong_PX.

Stąd przykładowo natychmiast otrzymujemy oszacowanie z dołu kategorii n-wymiarowego torusa.

Związki z wymiarem oraz iloczynem[edytuj | edytuj kod]

Niektóre związki kategorii z wymiarem oraz iloczynem kartezjańskim można zawrzeć w następującach twierdzeniach:

Jeśli X,Y są łukowo spójne oraz takie, że X\times Y jest T_5 (tj. każda podprzestrzeń X\times Y jest normalna), to cat X\times Y\le cat X+cat Y.

Jeśli X jest łukowo spójną, ośrodkową przestrzenią metryczną oraz cat X<\infty, to

cat X\leq \dim X.

Analogiczne twierdzenie zachodzi jeśli X jest łukowo spójna oraz parazwarta.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna ma zastosowania w topologii algebraicznej, różniczkowej oraz w geometrii różniczkowej. Jest stosowana m.in. przy badaniu geodezyjnych zamkniętych. Jednak jej chyba najważniejszym zastosowaniem jest szacowanie z dołu ilości punktów krytycznych na gładkich i zwartych rozmaitościach. Mianowicie jeśli M jest gładką i zwartą rozmaitością, a f:M\to \mathbb{R} funkcją klasy C^1, to

\overline{\overline{Crit f}}\geq cat X+1,

gdzie Crit f oznacza zbiór punktów krytycznych funkcji f.

Pewne modyfikacje[edytuj | edytuj kod]

Kategoria domknięta[edytuj | edytuj kod]

Jak zostało wspomniane na początku kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotnie zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych. Jeżeli w definicji kategorii zbiory otwarte zamienimy na domknięte, to otrzymamy definicję kategorii domkniętej, którą oznaczamy cat^{cl}

Podobnie jak w przypadku zwykłej kategorii także domknięta jest niezmiennkiem homotopijnym (dowód jest analogiczny).

Ponadto dla normalnych absolutnych retraktów otoczeniowych obie kategorie są równe. A więc i dla przestrzeni mających typ homotopii ANR-a (w szczególności dla CW-kompleksów).

Kategoria geometryczna[edytuj | edytuj kod]

W definicji kategorii o zbiorach otwartych zakładamy, że są one ściągalne w przestrzeni w której liczymy kategorię. Można się zastanawiać dlaczego by nie rozważać definicji, w której o zbiorach będziemy zakładać, że są ściągalne w sobie.Taką kategorię nazywamy geometryczną i oznaczamy gcat.

Jednak taka kategoria ma dużą wadę, mianowicie nie jest niezmennikiem homotopijnym. Jako przykład przyjmijmy X=\mathbb{S}^2\vee\mathbb{S}^1\vee\mathbb{S}^1, a za Y sferę \mathbb{S}^2 ze zidentyfikowanymi trzema różnymi punktami. Oczywiście obie przestrzenie są homotopijnie równoważne, lecz gcat X=1, podczas gdy gcat Y=2.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]